Funzione liscia: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], una '''funzione liscia''' in un punto del suo dominio è una [[funzione (matematica)|funzione]] che è [[funzione differenziabile|differenziabile]] infinite volte nelin tale punto, {{nono chiaro|doveequivalentemente, cioèche esistono le sueè [[derivata parziale|derivatederivabile]] parzialiinfinite volte nel punto rispetto ad ogni sua variabile (per il [[teorema del differenziale totale]], infatti, una funzione è differenziabile in un punto se le sue derivate parziali disono qualsiasiivi ordine}}continue). Se una funzione <math>f</math> è liscia in tutti i punti di un insieme <math>A</math>, si dice che essa è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^{\infty}</math> su <math>A</math>, e si scrive <math>f \in C^\infty(A)</math>.

== Funzioni lisce e funzioni analitiche nel caso reale ==

{{vedi anche|Funzione analitica}}

Sia <math>f : D \to \R</math> una funzione reale di variabile reale definita su un dominio <math>D \subseteq \R</math>, e si supponga che <math>f</math> sia liscia sull'intervallo [[insieme aperto|aperto]]  <math>I \subseteq D</math>. Preso allora un punto <math>x_0 \in I</math>, è possibile approssimare la funzione attorno a quel punto grazie al [[teorema di Taylor]]:

:<math>f(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0)(x-x_0) + \ldotsdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)</math>

dove la quantità <math>o((x-x_0)^n)</math> è un resto tale che:

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:<math>T_f(x) := f(x_0) + \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}</math>

A differenza di quanto ci si potrebbe aspettare, questa serie in generale non [[Convergenza|converge]] a <math>f(x)</math>: se la convergenza (puntuale) è verificata, si dice che <math>f</math> è ''[[Funzione analitica|analitica]]'' in <math>x_0</math>, e se <math>A</math> è l'insieme dei punti in cui <math>f</math> è analitica si scrive <math>f \in C^{\omega}(A)</math>. Poiché ogni funzione analitica è in particolare liscia, vale la relazione insiemistica:

:<math>C^{\omega}(A) \subset C^{\infty}(A)</math>

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* La [[funzione esponenziale]] è una funzione liscia su tutto l'asse reale, avendo derivate di qualsiasi ordine, ciascuna multipla di se stessa:

:: <math>f(x) = e^{\alpha x} \Rightarrow f^{(n)}(x) = \alpha^n e^{\alpha x} \ \quad \forall x \in \R</math>

: :Si dimostra che tale funzione è anche analitica su tutto l'asse reale, ossia la sua serie di Taylor converge a <math>e^{\alpha x}</math> per ogni <math>x</math> reale.

* La seguente [[funzione definita a tratti]]:

: Si dimostra che tale funzione è anche analitica su tutto l'asse reale, ossia la sua serie di Taylor converge a <math>e^{\alpha x}</math> per ogni <math>x</math> reale.

[[File:Mollifier illustration.png|thumb|right|400pxupright=1.8|Una funzione liscia non è necessariamente analitica.]]

* La seguente funzione definita a tratti:

:: <math>f(x) = \begin{cases}\exp\Big(\frac{1}{x^2-1}\Big) & \text{se } |x| < 1, \\ 0 &\text{altrove}\end{cases}</math>

[[File:Mollifier illustration.png|thumb|right|400px|Una funzione liscia non è necessariamente analitica.]]

::è un esempio di funzione liscia ma non analitica sull'intero asse reale. Infatti, si consideri ad esempio il punto <math>x=1</math>: tutte le derivate destre della funzione in quel punto sono banalmente nulle, mentre le derivate sinistre valgono:

:: <math>f^{(xn)}{(1)} = \beginlim_{cases}ex \to 1^{-}\exp\Big(\frac{1}{x^2-1}} & \mboxBig)\frac{ se d^n} |{dx^n}{(1-x| < ^2)^{-1,}} \\= 0 &\mbox{ altrove }\end{cases}</math>

::poiché l'esponenziale decresce più rapidamente di qualunque funzione algebrica. Dal momento che tutte le derivate sinistre e destre combaciano, la funzione è infinitamente derivabile (si dice anche che "si incolla bene") in <math>x=1</math>. Tuttavia, si vede anche che la serie di Taylor della funzione scritta attorno a tale punto risulta identicamente nulla, mentre <math>f</math> è non nulla in qualunque intorno sinistro di <math>x=1</math>; la funzione non è perciò analitica in tale punto.

:è un esempio di funzione liscia ma non analitica sull'intero asse reale. Infatti, si consideri ad esempio il punto <math>x=1</math>: tutte le derivate destre della funzione in quel punto sono banalmente nulle, mentre le derivate sinistre valgono:

:: <math>f^{(n)}{(1)} = \lim_{x \to 1^-}{e^{\frac{1}{x^2-1}}\frac{d^n}{dx^n}{(1-x^2)^{-1}}} = 0</math>

:poiché l'esponenziale decresce più rapidamente di qualunque funzione algebrica. Dal momento che tutte le derivate sinistre e destre combaciano, la funzione è infinitamente derivabile (si dice anche che "si incolla bene") in <math>x=1</math>. Tuttavia, si vede anche che la serie di Taylor della funzione scritta attorno a tale punto risulta identicamente nulla, mentre <math>f</math> è non nulla in qualunque intorno sinistro di <math>x=1</math>; la funzione non è perciò analitica in tale punto.

== Funzioni lisce complesse ==

Nel caso di funzioni [[numeroFunzione complessodi variabile complessa|funzioni complesse]] di variabile complessa]], la liscezza in un punto (o su un insieme) discende direttamente dall'[[funzione olomorfa|olomorfia]] della funzione in tale punto (o su tale insieme). Per tale motivo si parla indifferentemente di "liscezza" o di "derivabilità" di una funzione complessa. In effetti, è possibile dimostrare che una funzione complessa olomorfa su un dominio è ivi addirittura analitica (vedi [[Equazioni di Cauchy-Riemann]]).

== Definizione per le varietà differenziabili ==

Siano <math>M</math> e <math>N</math> [[varietà differenziabile|varietà differenziabili]] e <math>p</math> un punto di <math>M</math>. Una funzione <math>F:M\rightarrow N</math> è detta differenziabile in <math>p</math> (oppure liscia o di classe <math>C^\infty</math> in <math>p</math>) se esistono una [[Atlante (topologia)|carta]] <math>(U,\phi )</math> in <math>p</math> ed una carta <math>(V,\psi )</math> in <math>F(p)</math> tali che <math>F(U)\subset V</math> e la composizione:

:<math>\psi\circ\ F\circ \phi^{-1}:\colon\phi (U)\rightarrow \psi (V)</math>

sia liscia in un [[intorno]] di <math>\phi (p)</math>. Tale definizione non dipende dalle carte scelte: prendendo infatti altre carte <math>(U',\phi ' )</math> e <math>(V',\phi ')</math> la composizione <math>\psi '\circ\ F\circ \phi '^{-1}</math> rimane liscia in un intorno di <math>\phi (p)</math>.

<math>F</math> è differenziabile (liscia, di classe <math>C^\infty</math>) se lo è per ogni <math>p</math> in <math>M</math>. Se inoltre <math>F</math> è [[funzione inversa|invertibile]] con inversa liscia allora <math>F</math> si dirà un [[diffeomorfismo]]. Lo studio delle proprietà invarianti per diffeomorfismi è oggetto della [[topologia differenziale]].

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* [[Partizione dell'unità]]

* [[Serie di Taylor]]

*[[Teorema di Taylor]]

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} Weisstein, Eric W. ''[http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html Smooth Function]''. From MathWorld

* {{en}} Rowland, Todd. ''[http://mathworld.wolfram.com/C-InfinityFunction.html C^infinity Function]''. From MathWorld

{{analisi matematica}}