Modulo di elasticità: differenze tra le versioni

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{{F|ingegneria|maggio 2009}}

[[File:Compressive and tensile loading of two materials with different Young's moduli.svg|thumb|upright=0.8|Effetti della compressione e della tensione su due materiali con differente modulo di elasticità.]]

Il '''modulo di elasticità''' è una grandezza, caratteristica di un [[materiale]], che esprime il rapporto tra [[tensione (meccanica)|tensione]] e [[deformazione]] nel caso di condizioni di carico monoassiale ed in caso di comportamento di tipo "[[Elasticità (meccanica)|elastico]]" del materiale. È definito come il rapporto tra lo [[Azione esterna|sforzo applicato]] e la [[deformazione]] che ne deriva.<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/M03966.html IUPAC Gold Book, "modulus of elasticity"]</ref> La sua unità di misura nel [[Sistema Internazionale]] è il [[Pascal (unità di misura)|pascal]] (N/m²) o i suoi multipli (GPa per esempio per gli acciai), spesso però si trovano ancora dati espressi nelle vecchie unità del sistema tecnico ([[kgf/cm²]]).

==Tipologia di moduli==

Si hanno tre distinti moduli di elasticità:

* modulo di elasticità longitudinale

* modulo di comprimibilità

* modulo di elasticità tangenziale

* modulo di comprimibilità

[[File:Stress Strain Ductile Material.png|thumb|upright=1.3|diagramma[[Curva sforzo-di deformazionetrazione]] di origine sperimentale. La curva di trazione in figura è tipica di un materiale [[duttilità|duttile]]]]

=== Modulo di elasticità longitudinale ===

Il '''modulo di elasticità longitudinale''', detto anche '''modulo di [[rigidezza]] longitudinale''' o in ambiente internazionale '''modulo di [[Thomas Young|Young]]''', è definito acome la partirecostante dalladella [[legge di Hooke]]:<ref name=tool>{{en}} [https://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html Engineering Toolbox, "Young's Modulus - Tensile and Yield Strength for common Materials"]</ref>

:<math>E=\frac{\sigma}{\varepsilon_mvarepsilon}=\frac{\sigma}{\lambda-1}</math>

con:

* <math>\sigma</math>: '''sforzo''',tensione. vieneNel misurato[[Sistema Internazionale]] si esprime in [[mega]][[Pascal (unità di misura)|pascal]]. [[Analisi dimensionale|Dimensionalmente]] è una [[pressione]], cioè forza su superficie: <math>\sigma=\frac{F}{A}</math><ref name=tool/>

* <math>\varepsilon_mvarepsilon</math>: '''coefficiente di''' '''[[deformazione''',]]: è una grandezza adimensionale, spesso la si esprimeespressa in percentuale. È definitadefinito come la variazione di lunghezza su lunghezza iniziale: <math>\varepsilon_mvarepsilon=\fractfrac{\Delta ll_f-l_i}{ll_i}</math><ref name=tool/>.

*<math>\lambda</math>: fattore di stiro, è una grandezza adimensionale, spesso espressa in percentuale. È definito come la lunghezza finale diviso la lunghezza iniziale: <math>\lambda=l_f/l_i</math>

Se la tensione non è lineare con la deformazione, il valore del modulo risulta un ''[[valore medio]]'' all'interno dell'intervallo di deformazione che ha per estremi lo stato di riposo (deformazione zero) e il valore di deformazione considerato.

Il modulo di Young viene determinato dal [[diagramma sforzotensione-deformazione]], mediante la formula appena vista, nel tratto in cui il materiale subisce una deformazione elastica lineare (ovvero, rimuovendo lo sforzo, il materiale deve essere in grado di ritornare alle dimensioni iniziali). La grandezza inversa al modulo di rigidezza è detta ''modulo di cedevolezza'', indicato convenzionalmente come <math>C</math>.

=== Modulo di comprimibilitàtaglio ===

Il '''[[modulo di elasticità tangenzialetaglio]]''', (o '''[[modulo di scorrimento|elasticità tangenziale, o di scorrimento]]''',) è dato da:<ref>{{en}} [https://www.engineeringtoolbox.com/modulus-rigidity-d_946.html Engineering Toolbox, "Modulus of Rigidity"]</ref>

:<math>G_mG=\frac{\sigmatau}{\thetagamma}</math>

essendo <math>\thetagamma</math> l'angolo di spostamento rispetto alla posizione a riposo. Il corrispondente modulo di cedevolezza è indicato con la lettera <math>J</math>.

La relazione che lega <math>E</math> con <math>G</math> è la seguente:

:<math>G=\frac{E}{2(1+ \nu )}</math>

Il modulo di Young viene determinato dal [[diagramma sforzo-deformazione]], mediante la formula appena vista, nel tratto in cui il materiale subisce una deformazione elastica lineare (ovvero, rimuovendo lo sforzo, il materiale deve essere in grado di ritornare alle dimensioni iniziali).

<math>\nu</math> è definito nel prossimo paragrafo come [[coefficiente di Poisson]].

=== Modulo di comprimibilità ===

=== Modulo di elasticità tangenzialecompressibilità ===

Il '''[[modulo di comprimibilitàcompressibilità]]''', o '''compressibilità'''di comprimibilità, è definito da:<ref>{{en}} [https://www.engineeringtoolbox.com/bulk-modulus-elasticity-d_585.html Engineering Toolbox, "Bulk Modulus and Fluid Elasticity"]</ref>

:<math>\beta=-\Delta p\frac{V_0}{\Delta V}=\Delta p\frac{\rho}{\Delta\rho}</math>

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* <math>-\frac{V_0}{\Delta V}</math>: inverso della variazione unitaria di volume, è un coefficiente adimensionale.

* <math>\frac{\rho}{\Delta\rho}</math>: inverso della variazione unitaria della densità del corpo, è un coefficiente adimensionale.

=== Modulo di elasticità tangenziale ===

Il '''[[modulo di elasticità tangenziale]]''', o '''[[modulo di scorrimento|di scorrimento]]''', è dato da:<ref>{{en}} [https://www.engineeringtoolbox.com/modulus-rigidity-d_946.html Engineering Toolbox, "Modulus of Rigidity"]</ref>

:<math>G_m=\frac{\sigma}{\theta}</math>

essendo <math>\theta</math> l'angolo di spostamento rispetto alla posizione a riposo.

== Legge di Poisson ==

A seguito di una trazione, un corpo non solo si allunga, ma subisce una variazione di sezione. Se si prende ad esempio una sbarra cilindrica, dove <math>r</math> è il suo raggio, quest'ultimo ha una variazione unitaria che è definita dalla '''legge di [[Siméon-Denis Poisson|Poisson]]''':

:<math>\frac{\Delta r}{r}=-\nu\varepsilon_mvarepsilon=-\nu\frac{\sigma}{E}</math>

dove <math>\nu</math> è il [[coefficiente di Poisson]].

== Le variabili di influenza nei metalli ==

Nel seguito si analizzeranno alcune variabili importanti nello studio del modulo di elasticità dei [[metallo|materiali metallici]]. In generale qualsiasi azione che vari la distanza di equilibrio fra gli [[atomo|atomi]] o le forze di legame modifica la tangente alla [[curva di Condon-Morse]] e quindi il modulo di elasticità.

* '''Temperatura''': il modulo di elasticità longitudinale diminuisce al crescere della temperatura.

* '''Composizione chimica''': un elemento inserito in una matrice metallica altera la distanza fra gli atomi e le forze interatomiche, soprattutto se è un [[non metallo]] e quindi forma legami più forti. Nelle [[soluzione (chimica)|soluzioni]] il modulo di Young è quasi lineare, nei sistemi [[eutettico|eutettici]] ha una leggera concavità, in corrispondenza dei composti intermetallici presenta una brusca deviazione di pendenza. Importante è comunque notare che una ristretta variazione della concentrazione del soluto non altera apprezzabilmente il modulo E, che infatti è ritenuto pari a 210&nbsp;000&nbsp;N/mm² per tutti gli [[acciaio|acciai]] al [[carbonio]] e basso legati.

* '''[[Incrudimento]]''': soprattutto su reticoli non CFC, l'effetto è trascurabile.

* '''Anisotropia cristallina''': la [[trafilatura]] a freddo aumenta i moduli elastici misurati nella direzione di lavorazione.

* '''Trattamenti termici''', ad esempio la [[tempra]], hanno un'influenza trascurabile.

== Modulo di elasticità longitudinale del calcestruzzo ==

Poiché, dal punto di vista meramente geometrico, il modulo di Young rappresenta la [[Coefficiente angolare|pendenza]] della curva sforzi-deformazioni, il modulo E del [[calcestruzzo]] non è costante come per l'acciaio, poiché il calcestruzzo segue mediocremente la [[legge di Hooke]].

Inoltre poiché lo scostamento dalla legge di Hooke è maggiore a trazione che a compressione risulta che il modulo E<submath>cE_c</submath> a compressione è diverso da quello a trazione E<submath>E_{ct}</submath>.

Il comportamento del calcestruzzo può essere approssimato dalla legge di Hooke se soggetto a sforzi di compressione di breve durata e di intensità non superiore al 40% della sua resistenza a compressione (se riferita a f<submath>f_{ck}</submath><ref>f_ck è la resistenza a compressione cilindrica caratteristica del calcestruzzo a 28 giorni</ref>, se riferita a R<submath>R_{ck}</submath><ref>R_ck è la resistenza a compressione cubica caratteristica del calcestruzzo a 28 giorni</ref> la percentuale è pari a circa il 30% essendo f<submath>f_{ck</sub>≈0}\approx0,83\ R<sub>R_{ck}</submath>) oppure a sforzi di trazione di intensità non superiore al 70% della sua resistenza a trazione.

=== Parametri che influenzano E ===

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=== Diagramma σ - ε ===

[[File:Legame costitutivo del calcestruzzo.pngsvg|thumb|upright=1.1|Legame costitutivo di progetto del calcestruzzo]]

Esaminiamo la risposta istantanea del calcestruzzo. Se sottoponiamo un provino di calcestruzzo cilindrico ad una prova rapida di compressione si avrà il seguente andamento: fino a valori della tensione di compressione pari a circa il 40% di quella di rottura f<submath>cf_c</submath> si registra un andamento del diagramma approssimativamente rettilineo<ref>non si ha una sensibile propagazione delle microfessure nella matrice cementizia; il comportamento macroscopico è prossimo a quello elastico</ref>.

Per sforzi di intensità maggiori il diagramma risulta sensibilmente parabolico fino ad un valore della deformazione denominato ε_c1<ref>le microfessure si propagano al crescere del carico, ma la propagazione si arresta giungendo ad un nuovo assetto stabile. Il comportamento macroscopico è sempre più marcatamente non lineare</ref>. A tale valore corrisponde anche la massima tensione di compressione <math>f_c</math> che è praticamente il valore della tensione di rottura.

Il cedimento del provino non è però istantaneo, essendo collegato ad un processo di microfessurazione in rapida evoluzione. Segue pertanto un secondo tratto discendente ('''comportamento softening''') dall'andamento curvilineo, limitato dalla deformazione ultima di rottura denominata ε<submath>\varepsilon_{cu}</submath>, cui corrisponde un valore finale della tensione sul provino σ<submath>\sigma_{cu}</submath> alquanto inferiore al valore massimo registrato in precedenza<ref>dall'85% del carico di rottura in su, la propagazione delle microfessure diventa instabile; esse possono estendersi nel tempo, sotto carico costante, portando alla rottura. Per questo motivo la tensione di rottura misurata con prove a breve durata è maggiore di quella che si rileva per carichi di lunga durata</ref>.

A tale valore corrisponde anche la massima tensione di compressione f_c che è praticamente il valore della tensione di rottura.

Il cedimento del provino non è però istantaneo, essendo collegato ad un processo di microfessurazione in rapida evoluzione. Segue pertanto un secondo tratto discendente ('''comportamento softening''') dall'andamento curvilineo, limitato dalla deformazione ultima di rottura denominata ε_cu, cui corrisponde un valore finale della tensione sul provino σ_cu alquanto inferiore al valore massimo registrato in precedenza<ref>dall'85% del carico di rottura in su, la propagazione delle microfessure diventa instabile; esse possono estendersi nel tempo, sotto carico costante, portando alla rottura. Per questo motivo la tensione di rottura misurata con prove a breve durata è maggiore di quella che si rileva per carichi di lunga durata</ref>.

All'atto dello scarico la deformazione è solo parzialmente reversibile e la parte irreversibile aumenta con l'aumentare dello sforzo. Se dopo l'applicazione di carichi di breve durata si vuole tener conto di deformazioni irreversibili il valore di E va ridotto del fattore 0,85.

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=== Effetti sulle previsioni di calcolo ===

La variabilità dei moduli elastici, la non linearità meccanica, l'effetto della [[viscosità]] interessano l'intera struttura in [[calcestruzzo armato]] in maniera generalmente non uniforme, pertanto questi parametri diventano responsabili di modificazioni nello stato di cimento rispetto alle previsioni di calcolo, a causa del cumularsi di deformazioni permanenti e di stati di [[coazione]] generalmente non previsti nel calcolo.

=== Variazioni del tempo ===

Secondo l'[[Eurocodice]] 2 la variazione del modulo di elasticità nel tempo si può stimare con la relazione:

:E<submath>E_{cm</sub>}(t) = \left[f_{\frac{f_{cm}}(t)/f_{}{f_{cm}}}\right]^{^{0,3}} E<sub>E_{cm}</submath>

con

* E<submath>E_{cm</sub>}(t)</math> e f<submath>f_{cm</sub>}(t)</math> sono i valori del modulo secante e della resistenza media del calcestruzzo all'età ''<math>t''</math>

* E<submath>E_{cm}</submath> e f<submath>f_{cm}</submath> sono i valori del modulo secante e della resistenza media del calcestruzzo a 28 giorni

=== Modulo tangente e modulo secante ===

Come già visto, dal punto di vista meramente geometrico il modulo di Young rappresenta la [[Coefficiente angolare|pendenza]] della curva sforzi-deformazioni e nel caso del calcestruzzo, che non ha un comportamento elastico-lineare (come accade nell'[[acciaio]]), è variabile da punto a punto della curva.<br />

Praticamente per rappresentare le proprietà elastiche del calcestruzzo, si fa riferimento a due valori del modulo di Young:

* modulo elastico istantaneo tangente E<submath>cE_c</submath>, all'origine della curva curva σ <math>\sigma- ε\varepsilon</math>. Tale valore ben rappresenta il comportamento elastico del calcestruzzo a compressione per bassi valori di tensione (prossimi allo zero). Per i campi di lavoro ordinari tale valore risulta poco significativo, perché (troppo elevato), poiché la curva presenta una marcata diminuzione di pendenza al crescere del valore della tensioni;

* modulo elastico istantaneo secante E<submath>E_{cm}</submath>, che corrisponde alla pendenza della secante passante per l'origine e per il punto di ordinata 0,4 f_c≈ 0,33 R_c. Tale valore ben rappresenta il comportamento elastico del calcestruzzo nel campo di lavoro ordinario: E_cm = σ_1/3/ε_1/3 dove ε_1/3 è la deformazione unitaria che corrisponde all'applicazione di uno sforzo (σ_1/3) pari ad 1/3 della [[resistenza meccanica]] a compressione (R_c).

Si ritiene che il modulo tangente all'origine sia maggiore di circa il 10% del valore del secante.

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Le relazioni sperimentali per la determinazione del modulo di Young a compressione del calcestruzzo sono del tipo:

:<math>E=a. \cdot R^{b}</math>

dove il valore della costante a dipende dalle unità di misura adottate, da come è misurata la resistenza meccanica a compressione R (Rc per provini cubici o fc per quelli cilindrici) ed E (modulo elastico tangenziale iniziale o modulo elastico secante).

Tra queste la normativa, in mancanza di misure dirette per E, propone le seguenti formule:

* D.M. 9 gennaio [[1996]]: fa riferimento al valore tangente all'origine: <math>E_{c}=5700*\cdot\sqrt[]{R_{ck}}</math> (N/mm²);

* D.M. 17 gennaio 2018 e D.M. 14 gennaio 2008: fa riferimento al modulo secante tra la tensione nulla e 0,40 f_cm<ref>f_cm è il valore medio della resistenza cilindrica e vale f_cm = f_ck + 8</ref>:<math>E_{cm}=22000*\cdot(f_{cm}/10)^{0{,}3}</math> (N/mm²)

* Eurocodice 2: fa riferimento al valore medio del modulo secante tra la tensione nulla e 0,40 f_c: <math>E_{cm}=9{,}5*\cdot\sqrt[]{(f_{ck}+8)}</math> (N/mm²)

Queste formule non sono applicabili a calcestruzzi [[indurimento a vapore|stagionati a vapore]], in quanto, in questo caso, il calcestruzzo ha maggiore deformabilità e quindi un modulo elastico di molto inferiore.

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==== Calcestruzzo ====

Il valore di E del calcestruzzo può essere determinato mediante ununa [[prova ultrasonica]] o una prova dinamica, in laboratorio. Tuttavia, sussistono differenze a seconda che si usi l'uno o l'altro metodo.

La prova con ultrasuoni consiste nella misura del tempo di volo di un segnale acustico, tra due sonde opposte (metodo diretto) collocate ad una certa distanza d, si valuta la velocità di volo e si calcola il modulo elastico dinamico dalla seguente espressione:

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: <math>E_{0} = \frac{E_{din}}{1,062}</math>

E_din risulta utile quando si utilizzano prove non distruttive per la verifica delle caratteristiche del calcestruzzo in opera quali [[Sonreb]], [[Cross-hole]], [[provaProva ultrasonica (calcestruzzo)per calcestruzzi|prove ultrasoniche in situ]], ecc.

Tali prove sono descritte anche al punto 12.5 delle ''Linee guida per la messa in opera del calcestruzzo strutturale e per la valutazione delle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo indurito mediante prove non distruttive'', pubblicate dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici - Servizio Tecnico Centrale.

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* [[Prova di trazione]]

* [[Modulo di Poisson]]

==Altri progetti==

{{interprogetto|preposizione=sul|wikt=modulo di elasticità}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web|http://www.mater.unimib.it/utenti/benedek/FISICA%20DEI%20MATERIALI%20I/Dispensa-Modulo-M3%5B2%5D.pdf|Elementi di meccanica dei solidi}}

* {{cita web | 1 = http://www.mater.unimib.it/utenti/benedek/FISICA%20DEI%20MATERIALI%20I/Dispensa-Modulo-M3%5B2%5D.pdf | 2 = Elementi di meccanica dei solidi | accesso = 28 novembre 2013 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20131203071656/http://www.mater.unimib.it/utenti/benedek/FISICA%20DEI%20MATERIALI%20I/Dispensa-Modulo-M3%5B2%5D.pdf | dataarchivio = 3 dicembre 2013 | urlmorto = sì }}

{{Controllo di autorità}}

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[[Categoria:Analisi strutturale]]

[[Categoria:Proprietà meccaniche]]

[[Categoria:Elasticità (meccanica)]]