Calotta: differenze tra le versioni

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{{Nota disambigua|descrizione=la voce riguardante l'associazione degli ufficiali subalterni di un reggimento nelle forze armate italiane|titolo=Calotta (associazione militare)}}

{{Nota disambigua|il copricapo usato nella [[pallanuoto]]|Cuffia da pallanuoto}}

[[File:Spherical Cap.svg|thumb|right|Due calotte sferiche generate da un piano secante una sfera. Sono evidenziate le dimensioni caratteristiche della calotta minore]]

In [[geometria]], si dice '''calotta sferica''' ciascuna delle parti in cui la superficie di una [[sfera]] è suddivisa da un [[piano (geometria)|piano]] secante. Se il piano secante passa per un [[diametro]] della sfera le due parti si dicono [[emisfero|emisferi]]. Il [[volume]] compreso tra la calotta e il piano secante è detto '''segmento sferico'''.

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== Formule ==

=== Superficie ===

L'area della [[superficie (matematica)|superficie]] della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:

: <math>S = 2 \pi r h,</math>

dove <math>r</math> e <math>h</math> sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se <math>\Omega</math> è l'[[angolo solido]] sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:

: <math>S = \Omega r^2.</math>

Se si introduce l'apertura <math>\alpha</math> del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare [[angolo solido]]) si ottengono le notevoli relazioni:

: <math>h = r \left(1-\cos\left(\frac{\alpha/}{2}\right)\right),</math>

: <math>\Omega = 2 \pi \left(1-\cos\left(\frac{\alpha/}{2}\right)\right).</math>

=== Volume ===

Il volume della calotta sferica è dato da:

: <math>V = \pi h^2 \left( r - \frac{h}{3} \right).,</math>

Il volume della calotta sferica è dato da:

oppure da:

: <math>V = \pi h^2 \left( r - \frac{h}{3} \right).</math>

:<math>V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + h^2),.</math>

oppure da:

:<math>V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + h^2),</math>

La relazione tra l'altezza <math>h</math>, il raggio di base della calotta <math>a</math> e il raggio della sfera <math>r</math> è data da:

: <math>h = r \pm \sqrt{r^2 - a^2},</math>

: <math>r = \frac {a^2 + h^2}{2h},</math>

dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.

==== Dimostrazione ====

Fissando un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della sfera e asse <math>z</math> passante per l'altezza <math>h</math> della calotta, il volume è dato dall'integrale triplo dell'unità sul dominio <math>E=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ | \ r-h\le z\le \sqrt{r^2-x^2-y^2}, 0\le x^2+y^2\le a^2\}</math>:

:<math>V = \iiint _E 1 \ dx \ dy \ dz=

\iint_D \left( \int_{z=(r-h)}^{\sqrt{r^2-x^2-y^2}} 1 \ dz \right)dx \ dy=

\iint_D \left( \sqrt{r^2-x^2-y^2}-r+h \right)dx \ dy</math>

dove <math>D=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2| 0\le x^2+y^2\le a^2 \}.</math>

Passando alle coordinate polari, si ha:

:<math>T=\{ (\rho,\theta)\in \mathbb{R}^2| 0\le \rho^2\le a^2, 0\le\theta\le 2\pi \}</math>

:<math>V =\iint_T \left( \sqrt{r^2-\rho^2}-\rho+h \right)\rho \ d\rho \ d\theta=

2 \pi \int_{\rho=0}^a \left( \sqrt{r^2-\rho^2}-\rho+h \right) \rho \ d\rho</math>

Ricordando che <math>a=2 \sqrt{2rh-h^2}</math>, si ha la tesi:

:<math>V =\pi h^2 \left(r-\frac{h}{3}\right).</math>

== Voci correlate ==

* [[Segmento circolare]]

* [[Arco di circonferenza]]

* [[Sfera]]

* [[Geometria sferica]]

* [[Segmento circolare]]

* [[Sfera]]

* [[Sferometro]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|wikt=calotta}}

== Collegamenti esterni ==

* [{{cita web|http://www.math.it/formulario/parti_sfera.htm |Formulario della sfera]}}

{{portale|matematica}}