Distanza (matematica): differenze tra le versioni

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{{F|matematicageometria|ottobre 2015}}

L'accezione [[matematica]] del termine '''distanza''' ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un [[insieme]] al quale si possa attribuire qualche carattere [[spazio (matematica)|spaziale]]. In matematica, però, questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come <math>\R^3</math> in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.

Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati. Il concetto di distanza e quello collegato di [[lunghezza]] vengono generalizzati mediante la definizione della [[geodetica]] come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".

L'accezione [[matematica]] del termine '''distanza''' ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un [[insieme]] al quale si possa attribuire qualche carattere [[spazio (matematica)|spaziale]]. In matematica, però, questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come <math>\R^3</math> in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.

Il concetto di distanza e quello collegato di [[lunghezza]] vengono generalizzati mediante la definizione della [[geodetica]] come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".

== Definizione di distanza ==

Una '''distanza''' (o '''metrica''') su un [[insieme]] <math> X </math> è una [[funzione (matematica)|funzione]]

:<math> d:X\times X \longrightarrow \R</math>

che soddisfa i seguenti due assiomi per ogni scelta di <math> x,y,z </math> in <math> X </math>:

# :<math>d(x,y)\colon =X\times 0X ~\Longleftrightarrow~longrightarrow x = y\R</math>

# <math>d(x,y) + d(x,z)\geq d(y,z) </math>

che soddisfa ile seguenti due assiomiproprietà per ogni scelta di <math> x,y,z </math> in <math> X </math>:

La coppia <math> (X,d) </math> è chiamata [[spazio metrico]].

# <math>d(x,y) + d(x,z)\geq d(y,z)ge 0</math>

== Ulteriori proprietà della distanza ==

# <math>d(x,y) = 0 ~\Longleftrightarrow~ x = y </math>

Dalla definizione si possono dedurre le sequenti proprietà:

# <math>d(x,y) = d(y,x)\ </math> (simmetria)

# <math> d(x,zy) +\le d(x,z,y)\geq + d(xz,y) </math> ([[disuguaglianza triangolare]])

i)La coppia <math>d(xX,yd) \geq 0</math> (positività)è chiamata [[spazio metrico]].

In realtà, solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre. Per esempio, se <math>d(a,b)=d(b,c)=d(c,a)=d(b,a)=d(c,b)=2, d(a,c)=3</math> allora la funzione <math>d(x,y)</math> per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.

ii) <math>d(x,y) = d(y,x)\ </math>([[Simmetria (matematica)|simmetria]])

La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.

iii) <math>d(y,x) + d(x,z)\geq d(y,z) </math>([[Disuguaglianza triangolare|diseguaglianza triangolare]]) <div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

Dimostrazione:

PerInfatti, sfruttando la i),4 si dataha <math>d(x,yz) +\le d(x,zy)\geq + d(y,z) </math> [per 2.] e ponendo <math>x=y</math>, abbiamo che <math>d(xz,y) + d(x,y)\geqle d(yz,yx) </math>,+ sapendo che <math>d(yx,y)=0 </math> [per 1.] siSommando deduceora immediatementemembro chea <math>d(x,membro y)\geq 0 </math>.otteniamo

* :<math>d(x,y)=||x-y||=||x-z) + d(z-,y||) \leq|| d(x-z||+||z-,y||=) + d(xy,z) + d(z,x) + d(x,y),</math>

Per la ii), data <math>d(x,y) + d(x,z)\geq d(y,z) </math> [per 2.] scrivendola prima con la terna x y x e successivamente y x y, si ricavano rispettivamente <math>d(x,y) + d(x,x)\geq d(y,x) </math> e <math>d(y,x) + d(y,y)\geq d(x,y) </math>, sapendo che <math>d(x, x)=d(y, y)=0 </math> [per 1.], si deduce che <math>d(x, y)=d(y, x) </math>.

infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in

Per la iii) basta applicare la proprietà simmetrica all'assioma 2.■

</div>

Queste considerazioni ci portano a considerare un'ulteriore definizione di '''distanza''' equivalente, ma non minimale, alla precedente:

:<math>d0 \le 2d(x,y)=||x-y|| \ </math>.

Una '''distanza''' (o '''metrica''') su un [[insieme]] <math> X </math> è una [[funzione (matematica)|funzione]]

:<math> d:X\times X \longrightarrow \R</math>

che soddisfa i seguenti tre assiomi per ogni scelta di <math> x,y,z </math> in <math> X </math>:

che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).

# <math>d(x,y) = 0 ~\Longleftrightarrow~ x = y </math>

# <math>d(x,y) = d(y,x)\ </math>(simmetria)

# <math> d(x,z) + d(z,y)\geq d(x,y) </math> ([[disuguaglianza triangolare]])

Da queste tre si ricava la proprietà di positività.

== Distanza indotta da una norma ==

Data una [[Norma_Norma (matematica)|norma]] <math>||\cdot||:X\rightarrow\mathbb{R}</math>, è possibile definire una distanza <math>d:X\times X \rightarrow R</math> definendo

:<math>d(x,y)=||x-y|| \ </math>.

:<math>Bd(cx,ry)=\{||x \in X : d(x,c) < r\}-y||.</math>

Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:

* <math>d(x,y)=||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1|||y-x||=||y-x||=d(y,x) \ge 0;</math>

* <math>d(x,y)=||x-y||=0 ~\geq0Longleftrightarrow~ ||x-y||=||0|| ~\Longleftrightarrow~ x=y;</math>

* <math>d(x,y)=||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1|||y-x||=||y-x||=d(y,x);</math>

* <math>d(x,y)=||x-y||=0 ~\Longleftrightarrow~ ||x-z+z-y||=\leq||0x-z||+||z-y|| ~\Longleftrightarrow~ x=d(x,z)+d(z,y ).</math>

* <math>d(x,y)=||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1|||y-x||=||y-x||=d(y,x) \ </math>

* <math>d(x,y)=||x-y||=||x-z+z-y||\leq||x-z||+||z-y||=d(x,z)+d(z,y)</math>

Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per [[traslazione (geometria)|traslazioni]] (ovvero, per ogni tripletta di vettori <math>d(x+z,y+z) = d(x,y)</math>).

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La distanza normalmente considerata in <math>\ \R^{2}</math> è quella [[distanza euclidea|euclidea]], pari alla [[radice quadrata]] del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:

:<math>d = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} .</math>

Se si elimina la seconda dimensione, questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: <math>d(x_1,x_2)= |x_1-x_2|</math>.

Più in generale nello [[spazio euclideo]] <math>\ \R^{n}</math> si può definire la distanza tra due punti <math>(x_1, x_2, ... \ldots,x_n)</math> e <math>(y_1, y_2, ... \ldots,y_n)</math> nei seguenti modi:

{| cellpadding="2"

|<math>\mbox{1-distanza} = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i| </math>

|-

|<math>\mbox{2-distanza} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2}\ </math> (distanza euclidea)

|-

|<math>p\mbox{-distanza} = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p} \ </math>, per ogni ''p'' reale maggiore o uguale ad 1

|-

|<math>\infty\mbox{-distanza} = \lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p}= \max_{i=1, \cdots ,n} \{|x_i-y_i|\}</math>

|}

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* Nell'insieme <math>\mathbf{F}^n</math> di [[Stringa (linguaggi formali)|stringhe]] di lunghezza <math>n</math> costruite sopra l'alfabeto <math>\mathbf{F}</math> si può definire la "''[[distanza di Hamming]]''" come <math>d(x,y)=|\{i : x_i \ne y_i\}|</math> (dove con <math>|A|</math> si indica la [[cardinalità]] di <math>A</math>). Si noti che la distanza di Hamming si può considerare che riguardi due vettori (assimilabili a stringhe) sul campo finito <math>\mathbf{F}=\Z_2 \subseteq \R</math>.

Nel caso di uno [[spazio di Hilbert]] <math>H</math>, il [[teorema della proiezione]] afferma che per ogni punto <math>x \in H</math> e per ogni [[insieme convesso]] [[insieme chiuso|chiuso]] <math>C \subset H</math> esiste un unico <math>y \in C</math> tale per cui <math>\lVert x - y \rVert</math> assume il valore minimo su <math>C</math>. In particolare, questo è vero per ogni [[sottospazio vettoriale|sottospazio]] chiuso <math>M</math> di <math>H</math>: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per <math>y</math> è che il vettore <math> x-y</math> sia [[Prodotto scalare#Ortogonalità|ortogonale]] a <math>M</math>.

== Dischi associati a una distanza ==

Data una distanza su un insieme, si può definire come [[palla (matematica)|palla]], o bolla, o disco, centrata in un punto <math>c</math> di un certo raggio <math>r</math> positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da <math>c</math> meno di <math>r</math>:

:<math>B(c,r)=\{x \in X : d(x,c) < r\}</math>

:<math>\partial B(c,r)=\{x \in X : d(x,c) =< r\}.</math>.

Solitamente, la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".

Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme

:<math>\partial B=\{x \in X : d(x,c) = r\}</math>.

:<math>\partial B=\{x \in X : d(x,c) = r\}.</math>

L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione [[topologia|topologica]] di [[base (topologia)|base]]: la [[spazio topologico|topologia]] sull'insieme <math>X</math> determinata da questa base si dice ''topologia generata'' (o ''indotta'') dalla distanza <math>d</math>.

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== Distanze equivalenti ==

Due distanze <math>d</math> e <math>d'</math> si dicono '''equivalenti''' se l'[[funzione identità|applicazione identità]]

:<math>id:(X,d) \to (X,d')</math>

Riga 121 ⟶ 110:

Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che

:<math>d(x,y) \leq \max\{d(x,z), d(z,y)\}</math>

si ottiene una cosiddetta '''[[ultrametrica]]'''.