Algoritmo di Euclide: differenze tra le versioni

Versione delle 11:59, 9 apr 2024

Versione attuale delle 13:09, 1 mag 2025

(7 versioni intermedie di 7 utenti non mostrate)

Riga 1:

L''''algoritmo di Euclide''' è un [[algoritmo]] per trovare il [[massimo comun divisore|massimo comune divisore]] (indicato di seguito con MCD) tra due [[numero intero|numeri interi]]. È uno degli algoritmi più antichi conosciuti, essendo presente negli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' di [[Euclide]]<ref>F. Acerbi, ''Euclide, Tutte le opere'', 2007, [[Bompiani]].

{{en}} [[Thomas L. Heath]], ''The Thirteen Books of Euclid's Elements'', 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925], 1956, [[Dover Publications]]</ref> intorno al [[300 a.C.]]; tuttavia, probabilmente l'algoritmo non è stato scoperto da [[Euclide]], ma potrebbe essere stato conosciuto anche 200 anni prima. Certamente era conosciuto da [[Eudosso di Cnido]] intorno al [[375 a.C.]]; [[Aristotele]] (intorno al [[330 a.C.]]) ne ha fatto cenno ne ''[[I topici (Aristotele)Topici|I topici]]'', 158b, 29-35. L'algoritmo non richiede la [[fattorizzazione]] dei due interi.

Dati due [[numero naturale|numeri naturali]] <math>a</math> e <math>b</math>, l'algoritmo prevede che si controlli se <math>b</math> è zero. Se lo è, <math>a</math> è il MCD. Se non lo è, si

Riga 10:

Questo è noto con il nome di [[Algoritmo esteso di Euclide|algoritmo di Euclide esteso]].

Questi algoritmi possono essere usati, oltre che con i [[numeri interi]], in ogni contesto in cui è possibile eseguire lal'operazione di divisione colcon resto. Ad esempio, l'algoritmo funziona per i [[polinomio|polinomi]] ad una indeterminata su un [[campo (matematica)|campo]] ''K'', o polinomi omogenei a due indeterminate su un campo, o gli [[intero gaussiano|interi gaussiani]]. Un oggetto algebrico in cui è possibile eseguire la divisione col resto è chiamato [[anello euclideo]].

Euclide originariamente formulò il problema geometricamente, per trovare una "misura" comune per la lunghezza di due segmenti, e il suo algoritmo procedeva sottraendo ripetutamente il più corto dal più lungo. Questo procedimento è equivalente alla implementazione seguente, che è molto meno efficiente del metodo indicato sopra.

== Pseudocodice ==

Una scrittura in [[pseudocodice]] dell'algoritmo (in cui «mod» indica il resto della divisione intera) è la seguente<ref>{{Cita web|url=https://www.treccani.it/enciclopedia/algoritmo-di-euclide_(Enciclopedia-della-Matematica)/|titolo=Euclide, algoritmo di - Treccani|sito=Treccani|lingua=it|accesso=2023-12-27}}</ref>:<syntaxhighlight>

inizia

leggi (a, b)

mentre bleggi >(a, 0 fai:b)

finché b > r0 <- mod(a, b)fai:

a r <- mod(a, b)

b a <- rb

fine ciclo b <- r

fine ciclo
scrivi (a, "è il massimo comun divisore cercato")

finisci.

</syntaxhighlight>

==Dimostrazione della correttezza dell'algoritmo==

Riga 216:

*[[Minimo comune multiplo]]

*[[Massimo comun divisore]]

*[[Algoritmo esteso di Euclide]]

*[[Equazione diofantea lineare]]

*[[Ritmo di Euclide]]