Gas ideale monoatomico: differenze tra le versioni

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{{F|fisica|maggio 2011}}

Le proprietà termodinamiche di un gas perfetto composto da particelle identiche, come la sua [[equazione di stato]] oppure il suo calore specifico, possono essere facilmente calcolate con i metodi della [[meccanica statistica]]; il [[gas perfetto]] è il sistema statistico più facile da modellizzare per la forma particolarmente semplice della sua [[meccanica hamiltoniana|Hamiltoniana]], scomponibile nella somma delle hamiltoniane di singola particella composte unicamente dal termine dell'[[energia cinetica]]. Gas "perfetto" sta infatti a significare che le singole particelle non interagiscono tra loro.<ref>{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=[[Springer (azienda)|Springer]]|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p.123</ref>

Le proprietà all'equilibrio del gas non variano a seconda che si lavori con l'[[insieme microcanonico]] piuttosto che col [[insieme canonico|canonico]] o col [[insieme gran canonico|gran canonico]].

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== Gas ideale classico con il microcanonico ==

ConsideriamoSi consideri un gas ideale di particelle indistinguibili in un volume <math>V</math>. L'hamiltoniana del sistema è:<ref>{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=Springer|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p.109</ref>

:<math>H(q_i, p_i) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\mathbf p^2}{2m} = \sum_{i=1}^{3N} \frac{p_{i}^{2}}{2m} =H(p_i)</math>

CalcoliamoSi calcoli ora <math>\Sigma(E)</math> tenendo conto chedel lcosiddetto ''hamiltonianaconteggio noncorretto dipendedegli dallestati'' coordinate,introducendo maun solofattore dagli impulsi<math>N!</math>:

:<math>\sigmaSigma(E) = \frac{1}{N!} \int_{H \le E} \frac{d^{3N}q d^{3N} p}{h^{3N}} = \left( \frac{V}{h^{3}} \right)^N \int_{H \le E} d^{3N} p</math>

L'integrale è esteso all'[[Ipersfera#Ipervolume e ipersuperficie|ipervolume]] definito dalla relazione:

:<math>H(p_i)=\sum_{i=1}^N \frac{p^2_i}{2m} \le E</math>

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:<math>\sum_{i=1}^{N}p^2_i \le 2mE</math>

Questa relazione definisce una iper-sfera[[ipersfera]] <math>N</math>-dimensionale di raggio <math>R=\sqrt{2mE}</math>. Il calcolo di questo integrale è standard, grazie all'uso dell'[[gaussiana|integrale gaussiano]] e della [[funzione gamma di Eulero]]:

:<math>\Sigma(E) = \frac{\piV^N}{h^{3N/2} N!} \cdot \frac{ \pi^{\frac{3N}{2}} R^{3N} } { \Gamma(\frac{3N/2)} R^{3N/2}+1) } V^N</math>

Quindi l'[[entropia]] è:

:<math>\omegaS(E, V, N) = k \frac{\partialln \Sigma}{\partial= E}k =\ln \left[\frac{V^N}{h^{3N}N!} \cdot \frac{\pi^{\frac{3N/2}}{\Gamma(3N/2)}} (2 m)R^{3N/2} E^}{\Gamma(\frac{3N/}{2 - }+1)} \right]</math>

</math>

:<math>S(E,V,N) = k \ln \left[\frac{V^N}{h^{3N}N!} \cdot \frac{ \pi^{\frac{3N/2}}{\Gamma(3N/2)}} (2m2 m E)^{\frac{3N/}{2}} E^}{ \Gamma(\frac{3N/}{2 - }+1)} \right]</math>

L'entropia è:

Usando l'[[approssimazione di Stirling]] sia per il [[fattoriale]] che per la Gamma di Eulero si ottiene per l'entropia:

:<math>S(E,V,N) = k \ln \left[V^N \frac{\pi^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} (2m)^{3N/2} E^{3N/2 - 1} \right]</math>

:<math>S(E,V,N) =Nk N k\ln \left[ \frac{3V}{2N} + \lnfrac{e}{h^3} \left[( \frac{VE}{hN} \right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{4}{3} \pi m E}{3N}e \right)^{\frac{3/}{2}} \right] \right]</math>

Qui bisogna introdurre una costante che renda adimensionale l'argomento del logaritmo, questa costante ha le dimensioni di un volume dello spazio delle fasi, che è scelta in base ad argomenti quantistici essere <math>h^{3N}</math>. Usando Stirling e il fatto che <math>E^{3N/2 - 1} \approx E^{3N/2}</math> allora:

Le altre proprietà termodinamiche derivano da questa:<ref>{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=Springer|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p.113</ref>

:<math>S(E,V,N) = N k \left[\frac{3}{2} + \ln \left[\frac{V}{h^2} \left(\frac{4 \pi m E}{3N} \right)^{3/2} \right] \right]</math>

:<math>\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial VE} \right)_{EV,N} = \frac{p3}{V2} = \frac{N k}{VE} \Rightarrow E=\frac{3}{2}NkT</math>

Le altre proprietà termodinamiche derivano da questa:

:<math>\frac{P}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial EV} \right)_{VE,N} = \frac{1}{T}N = \frac{3k}{2V} \frac{NRightarrow k}{E}PV=NkT</math>

Da notare che senza introdurre il fattore <math>N!</math> si sarebbe ottenuta un'entropia non additiva (anche se l'equazione di stato e l'energia sarebbero state corrette): l'introduzione del fattore <math>N!</math> è giustificato quantisticamente dal calcolo delle distribuzioni di [[Statistica di Bose-Einstein|Bose-Einstein]] e [[Statistica di Fermi-Dirac|Fermi-Dirac]]: entrambe tendono, nel regime classico, alla [[distribuzione di Boltzmann]], che fa uso dell' <math>N</math> fattoriale.

:<math>\left(\frac{\partial S}{\partial V} \right)_{E,N} = \frac{p}{V} = \frac{N k}{V}</math>

== Gas ideale con il canonico ==

VediamoSi analizzerà ora che il calcolo delle proprietà del gas ideale è facilitattofacilitato con il canonico. Usando la stessa hamiltoniana, calcoliamosi calcola la [[Funzione di partizione (meccanica statistica)|funzione di partizione]] canonica (inserendo il fattore di correzione di Gibbs):

:<math>Z (T,V,N) = \frac{1}{N! h^{3N}} \int d^{3N}q d^{3N}p e^{-\beta H} = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \prod_{i = 1}^{3N} \int_{-\infty}^{\infty} dp_i e^{-\beta p_{i}^{2} / 2m}</math>

FacciamoSi opera la sostituzione <math>x = \sqrt{\beta/2m} p_i</math> e vediamo che l'integrale si riduce ad un integrale gaussiano:

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx e^{-x^2} = \sqrt{\pi}</math>

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:<math>Z (T,V,N) = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \left(\frac{2 m \pi}{\beta} \right)^{3N/2} = \frac{V^N}{N!} \left(\frac{2 \pi m k T}{h^2} \right)^{3N/2}</math>

RicaviamoSi ricava ora l'[[energia libera di Helmholtz]]:

:<math>F =- k T \ln Z (T,V,N) = - N k T \left[1 + \ln \left(\frac{V}{N} \left[\frac{2 \pi m k T}{h^2} \right]^{3/2} \right) \right]</math>

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:<math>\mu = \left(\frac{\partial F}{\partial N} \right)_{T,V} = -kT \ln \left[\frac{V}{N} \left(\frac{2 \pi m k T}{h^2} \right)^{3/2} \right]</math>

==Note==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=[[Springer (azienda)|Springer]]|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1|lingua=en}}

== Voci correlate ==

:* [[Insieme microcanonico]]

:* [[Insieme canonico]]

:* [[Insieme gran canonico]]

{{Portale|meccanica}}

:[[Insieme microcanonico]]

:[[Insieme canonico]]

:[[Insieme gran canonico]]

[[Categoria:Meccanica statistica]]