Urto anelastico: differenze tra le versioni

Versione delle 11:33, 21 giu 2019

Versione delle 19:09, 19 mar 2021

Riga 1:

[[File:Bouncing ball strobe edit.jpg|thumb|Fotografia stroboscopica del rimbalzo di una palla. Ogni urto è anelastico, cioè l'energia viene dissipata in ogni urto. Se si ignora l'[[Attrito#Attrito_viscoso| attrito viscoso]] dell'aria, la radice quadrata del rapporto tra le altezze di due rimbalzi successivi è il coefficiente di restituzione della collisione palla-superficie.]]

[[Immagine:Inelastischer stoß.gif|frame|Animazione di un urto anelastico totale]]

L''''urto anelastico''' è l'[[urto]] in cui l'[[energia meccanica]] totale non si conserva.<ref>{{cita|Dalba|p. 2|GD}}.</ref> Nel caso poi sia '''anelastico totale''', i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati come un unico corpo ed essi viaggiano con la stessa velocità, come può essere il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocità <math>V\;</math> diversa dalla velocità iniziale dell'automobile e da quella del camion.

L''''urto anelastico'''<ref>{{Cita libro|autore=|nome1=P. Mazzoldi|nome2= N. Nigro|nome3= C. Voci|titolo=FIsica Volume 1|edizione=2|data=2003|editore=EdiSes Wiley|città=Napoli|ISBN=88-7959-137-1}}</ref> a differenza da un [[urto elastico]] è un [[urto]] in cui non si conserva l'energia a causa dell'[[attrito]]

==Conservazione della quantità di moto==

L''''urto anelastico''' è l'[[urto]] in cui l'[[energia meccanica]] totale non si conserva.<ref>{{cita|Dalba|pinterno. 2|GD}}.</ref> Nel caso poi sia '''completamente anelastico totale''', i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati come un unico corpo ed essi viaggiano con la stessa velocità, come può essere il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocità <math>V\;</math> diversa dalla velocità iniziale dell'automobile e da quella del camion, ma pari a quella del centro di massa comune.

[[File:Bouncing ball strobe edit.jpg|thumb|Fotografia stroboscopica del rimbalzo di una palla: si tratta di un esempio di un urto anelastico, poiché non si conserva l'energia cinetica totale del sistema.]]

La legge di conservazione della [[quantità di moto]] del sistema è:

==Urto anelastico nel [[sistema di riferimento del centro di massa]]==

<math>P_t = \sum M \cdot v = cost</math>

L'urto in genere rimane particolarmente semplice se studiato nel sistema di riferimento del centro di massa, in tale sistema di riferimento le [[quantità di moto]] dei due oggetti che si urtano appaiono eguali e contrarie sia prima che dopo l'urto.

Il sistema di riferimento inerziale in cui si osserva da fuori l'urto è chiamato sistema di laboratorio. Indichiamo con un apice le grandezze relative al sistema di riferimento del centro di massa e senza apici quelle di laboratorio. Le forze esterne se presenti, a meno che non siano impulsive, possono trascurarsi durante l'urto e quindi il sistema di riferimento del centro di massa è un sistema di riferimento inerziale.

La quantità di moto del primo corpo prima dell'urto è <math>\vec p'_{10}</math> e diviene dopo l'urto <math>\vec p'_{1f}=-e\vec p'_{10}</math>.

per gli ''urti anelastici totali'', si può scrivere

La grandezza adimensionale introdotta <math>0\le e \le 1</math> viene chiamato '''coefficiente di restituzione''' e vale 0 per un'urto completamente anelastico (in realtà anche l'urto elastico è compreso nell'analisi se e=1). Il coefficiente di restituzione anche per la seconda particella.

Dalla definizione data avremo che:

<math>m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2) \cdot V</math>

:<math>\vec v'_{1f}=-e\vec v'_{10}\qquad e \qquad \vec v'_{2f}=-e\vec v'_{20}</math>

Cioè nel sistema del centro di massa le velocità di ciascun corpo conservano la direzione, ma cambiano il verso.

L'energia cinetica dopo l'urto:

dove <math>m_1v_1\;</math> e <math>m_2v_2\;</math> rappresentano le quantità di moto prima dell'urto rispettivamente del primo corpo di massa <math>m_1\;</math> e del secondo corpo di massa <math>m_2\;</math>, mentre <math>(m_1+m_2) \cdot V</math> è la quantità di moto dell'intero sistema dopo l'urto, cioè quando i due corpi si fondono in un unico corpo di massa pari alla somma delle precedenti, <math>m_1+m_2\;</math>

:<math>E'_{kf}=\frac 12m_1{v'^2}_{1f}+\frac 12m_2{v'^2}_{2f}=e^2\left(\frac 12m_1{v'^2}_{10}+\frac 12m_2{v'^2}_{20}\right)=e^2E'_{k0}</math>

L'unica energia che viene dissipata è quella del sistema di riferimento del centro di massa. L'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa non viene dissipata.

In molti sport in cui si lanciano delle palle viene regolamentato il valore del coefficiente di restituzione; ad esempio nel

<math>V\;</math>, ricavabile dalla precedente espressione, rappresenta la velocità con cui si muovono i due corpi insieme dopo l'urto.

[[golf]] il coefficiente di restituzione tra il bastone e la pallina deve essere inferiore a 0.83.

==Caso unidimensionale==

==Energia dissipata==

La velocità del centro di massa nel sistema di laboratorio è:

Se si suppone per semplicità che non vi siano variazioni di [[energia potenziale]] (caso più comune), allora la perdita di energia meccanica è dovuta alla sola variazione di [[energia cinetica]].

:<math>m_r v_c= \frac {m_1 m_2m_1v_{10}+m_2v_{20}} {m_1 + m_2}</math>

L'energia cinetica dissipata durante l'urto completamente anelastico, è

Ritornando dal sistema del centro di massa a quello di laboratorio:

:<math>\begin{align}v_{1f}&=v_{1f}^'+v_{c}=-ev_{10}^'+v_{c}=-e(v_{10}-v_{c})+v_{c}=-ev_{10}+(1+e)v_{c}=\\

&=-ev_{10}+(1+e)\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_1-em_2)v_{10}+(1+e)m_2v_{20}}{m_1+m_2}

\end{align}\ </math>

:<math>\begin{align}v_{2f}&=v_{2f}^'+v_{c}=-ev_{20}^'+v_{c}=-e(v_{20}-v_{c})+v_{c}=-ev_{20}+(1+e)v_{c}=\\

&=-ev_{20}+(1+e)\frac {m_1v_{10}+m_2v_{20}}{m_1+m_2}=\frac {(m_2-em_1)v_{20}+(1+e)m_1v_{10}}{m_1+m_2}

\end{align} </math>

Quindi siamo in grado nel caso unidimensionale di determinare la velocità finale dei due corpi dopo l'urto.

[[Immagine:Inelastischer stoß.gif|frame|Animazione di un urto anelasticocompletamente totaleanelastico]]

<math>-\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2)V^2 = \frac{1}{2} m_r (v_1 - v_2)^2</math>

Vale la pena di considerare i due casi limite:

* <math>e=0</math> (urto completamente anelastico), dopo l'urto i due corpi procedono con la velocità del centro di massa, come appare nella animazione:

:<math>v_{1f}=v_{2f}=\frac {m_2v_{20}+m_1v_{10}}{m_1+m_2}=v_{c}\ </math>

* <math>e=1</math> ([[urto elastico]])

:<math>v_{1f}=\frac {(m_1-m_2)v_{10}+2m_2v_{20}}{m_1+m_2}

\ </math>

:<math>v_{2f}=\frac {(m_2-m_1)v_{20}+2m_1v_{10}}{m_1+m_2}\ </math>

dove:

<math>m_r = \frac{m_1 m_2} {m_1 + m_2}</math>

si dice massa ridotta del sistema.<ref>{{cita|Minguzzi; Rossi|p. 49|AT}}.</ref><ref>{{cita|Minguzzi; Rossi|p. 68|AT}}.</ref>

È possibile dimostrare che se l'urto è totalmente anelastico, l'energia cinetica dissipata è la massima possibile.

== Note ==

<references/>