Modello k-epsilon: differenze tra le versioni

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'''Il modello <math>k-\epsilon </math>''' è il modello matematico più comunemente usato in [[fluido dinamica computazionale]] per simulare le caratteristiche medie del flusso in condizioni turbolente. Fa parte dei modelli a due equazioni, e dà una descrizione generale della turbolenza utilizzando due equazioni alle derivate parziali per il trasporto di <math>k</math> (l'energia cinetica turbolenta) ed <math>\epsilon </math> (la velocità di dissipazione dell'energia cinetica turbolenta). L'iniziale impeto per lo sviluppo del modello <math>k-\epsilon</math> venne dal miglioramento dei modelli basati sulla lunghezza di miscelazione, e come alternativa ai modelli che richiedono la specifica delle scale di lunghezza turbolenta attraverso equazioni algebriche.<ref>{{citationCita pubblicazione|url=http://www.cfd-online.com/Wiki/K-epsilon_models| titletitolo=K-epsilon models}}</ref>

==Principi==

Rispetto a modelli di turbolenza passati, il modello <math>k-\epsilon</math> si concentra sui meccanismi che hanno un effetto sulla energia cinetica turbolenta. Questo rende il modello più generale dei modelli basati sulla lunghezza di miscelazione <ref name="fvmethod">{{cite bookCita libro|url=https://books.google.com/books?id=RvBZ-UMpGzIC |titletitolo= An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method|authorautore=Henk Kaarle Versteeg, Weeratunge Malalasekera |publishereditore=Pearson Education Limited |yearanno=2007 |isbn=9780131274983978-0-13-127498-3}}</ref>. L'assunzione di fondo del modello è che la energia cinetica turbolenta sia isotropa, o in altri termini, che il rapporto tra il tensore degli stress di Reynolds e il tensore delle deformazioni medie sia lo stesso in tutte le direzioni.

==Il modello standard==

Il modello <math>k-\epsilon</math> contiene al suo interno dei termini non valutabili analiticamente, e che necessitano quindi di modellazione numerica. Il modello standard, proposto dal Launder e Spalding (1974)<ref>{{cite journalCita pubblicazione| last1 cognome1= Launder | first1 nome1= B.E. | last2 cognome2= Spalding | first2 nome2= D.B. | date data= March 1974 | title titolo= The numerical computation of turbulent flows | journal rivista= Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering | volume = 3 | issue numero= 2 | pages pp= 269–289 | doi = 10.1016/0045-7825(74)90029-2 }}</ref> è quello più utilizzato in ambito industriale, visto l'importante sforzo di validazione dietro al modello. Le equazioni del modello verranno ora predentate, a partire da quella della energia cinetica turbolenta <math>k</math><ref name="versteeg2007introduction">{{cite bookCita libro| last1 cognome1= Versteeg | first1 nome1= Henk Kaarle | last2 cognome2= Malalasekera | first2 nome2= Weeratunge | title titolo= An introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method | date data= 2007 | publisher editore= Pearson Education }}</ref>:

:<math>\frac{\partial (\rho k)}{\partial t}+ \frac {\partial (\rho k u_i)}{\partial x_i}=\frac {\partial}{\partial x_j}\left[\frac {\mu_t}{\sigma_k}\frac {\partial k}{\partial x_j}\right]+2{\mu_t}{E_{ij}}{E_{ij}}-\rho \varepsilon</math>

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==Applicazioni==

Il modello <math>k-\epsilon</math> è stato specificamente tarato utilizzando strati limite planari<ref>[http://www.thermopedia.com/content/1118/?tid=104&sn=1159 usage of k-e to model shear layers]</ref> and recirculating flows.<ref>[http://samlab.epfl.ch/page-15502-en.html usage of k-e approach for modelling recirculating flows]</ref>. Questo modello è quello più largamente utilizzato e validato, con applicazioni che spaziano dal mondo industriale a flussi non confinati, spiegandone la popolarità. La sua applicazione principale è a flussi non confinati con ridotti gradienti di pressione avversi, come a casi confinati dove gli stress di Reynolds risultano preponderanti<ref>{{citationCita pubblicazione|url=http://www.innovative-cfd.com/turbulence-model.html |titletitolo=The Turbulence Model Can Make a Big Difference in Your Results}}</ref>.

Gli svantaggi di questo modello rispetto ai più semplici modelli basati sulla lunghezza di miscelazione sono legati alla maggiore richiesta in termini di memoria, vista la necessità di risolvere due equazioni aggiuntive. Il modello risulta non appropriato nel caso di presenza di forti gradienti di pressione avversi (come ad esempio nel caso di compressori). Il modello inoltre si mostra inaccurato nel caso di strati limite curvi, nel caso di flussi rotazionali, e per flussi in condotti a sezione non circolare<ref>{{citationCita pubblicazione|titletitolo=Secondary Flow in Semi Circular Ducts |authorautore=Larsson, I.A.S., Lindmark, E.M., Lundström, T.S., Nathan, J.G. |journalrivista=Trans. ASME J. Fluids Eng. |yearanno=2011 |doi=10.1115/1.4004991 |volume=133 |pagespp=101206-101214}}</ref>.

==Altre formulazioni==