Notazione di Einstein: differenze tra le versioni

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Nell'articolo del 1916 "''La fondazione della teoria della relatività generale''" (''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie'')<ref name=articolo-rel-tedesco>[http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120204075246/http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf |data=4 febbraio 2012 }}, Articolo originale della teoria della relatività generale (tedesco), pdf</ref>, dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "''Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale''". A valle della definizione di [[quadrivettore]] covariante e controvariante, dedica una nota alla "''Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni''". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "''notazione semplificata''", da applicare ai [[tensore|tensori]] precedentemente introdotti. A proposito scrive:

{{Citazione|''Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e ''unicamente'' rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno <math>\sum</math>. A tale scopo diamo la seguente regola: " quando un indice si presenta due volte in un termine d'unadi un'espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da [[Tullio Levi Civita|Levi-Civita]], indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto''.}}

La convenzione è quindi la seguente:

<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

Quando un indice si presenta due volte in un termine di una un'espressione occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario.

</div>

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Usando la convenzione di Einstein, si può sottintendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come

:<math> \langle x,y \rangle = x_iy^i. </math>

Infatti il termine <math>x_iy^i</math> contiene due volte l'indice <math>i</math>, una volta come covariante ede una volta come controvariante, la sommatoria sui valori di <math>i</math> può essere sottintesa.

=== Prodotto vettoriale ===

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== Indici muti e liberi ==

In una un'espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano ''muti'' e gli altri sono ''liberi''. Ad esempio, nell'espressione

:<math>v^i = T^i_k w^k - U^i_h z^h</math>

gli indici <math>k</math> e <math>h</math> sono muti e l'indice <math>i</math> è libero. Poiché gli indici <math>k</math> e <math>h</math> devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione: