Geometria: differenze tra le versioni

Versione delle 05:45, 28 feb 2022

Versione delle 05:49, 28 feb 2022

Riga 42:

== Geometria cartesiana ==

{{vedi anche|Geometria analitica}}

[[File:Ellipsoide.png|thumb|Un [[ellissoide]] può essere rappresentato in [[geometria analitica]] come luogo di punti che soddisfano una certa [[equazione]], del tipo <math> \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} =1 </math>, nelle variabili <math>x,y,z</math> associate ai tre assi cartesiani.]]

La [[geometria cartesiana]] (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l'[[algebra]] e l'[[analisi matematica|analisi]]. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con delle [[coordinate cartesiane]]. In questo modo ogni figura geometrica è descrivibile tramite una o più [[equazione|equazioni]] (o [[disequazione|disequazioni]]).

Rette e piani sono oggetti risultanti da [[equazione lineare|equazioni di primo grado]], mentre le coniche sono definite tramite [[equazione di secondo grado|equazioni di secondo grado]]. Equazioni [[polinomio|polinomiali]] di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi. Il [[calcolo infinitesimale]] permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L'[[integrale]] è un utile strumento analitico per determinare queste quantità. Si parla in generale quindi di [[curva (matematica)|curve]] e [[superficie|superfici]] nel piano e nello spazio.

[[File:Vector space illust.svg|thumb|left|Uno [[spazio vettoriale]] è una collezione di oggetti, chiamati "[[Geometria differenziale delle curve|vettori]]", che possono essere sommati e riscalati.]]

=== Spazi vettoriali ===

{{vedi anche|Algebra lineare|Spazio vettoriale}}

Riga 56:

=== Geometria affine ===

{{vedi anche|Geometria affine}}

[[File:PlaneIntersection.png|thumb|Due piani nello spazio sono [[Parallelismo (geometria)|paralleli]] oppure si intersecano in una [[retta]], come in figura.]]

In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l'[[algebra lineare]], si considerano infatti solo sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la [[formula di Grassmann]].

Nella [[geometria affine]] il ruolo predominante dell'origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo [[spazio affine]] è considerato (fino alla scoperta della [[relatività ristretta]]) come lo strumento migliore per creare modelli dell'universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o punti privilegiati.

== Geometria algebrica ==