Lagrangiana: differenze tra le versioni

Versione delle 08:55, 22 ott 2008

Versione delle 20:28, 21 nov 2008

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che è la Seconda Legge di Newton nella sua forma generale.

Supponiamo, ora, di avere uno spazio tridimensionale espresso in [[coordinate sferiche]] ''r'', ''θθ'', ''φφ''; la forma della lagrangiana allora sarà

:<math>\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)</math>

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:<math>\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0</math>

Qui l'insieme di parametri dinamici ''s_i'' sono ridotti al solo tempo ''t'', mentre le variabili dinamiche ''&phi;φ''(''s'') sono le traiettorie <math>\vec x(t)</math> delle particelle scritte in coordinate polari.

== Lagrangiana e densità di Lagrangiana in teoria dei campi ==

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Prima di continuare diamo alcuni esempi:

* Nella [[meccanica classica]], M è la varietà monodimensionale <math>\mathbb{R}</math>, che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato tangente dello spazio delle posizioni generalizzate.

* Nella teoria dei campi, M è la varietà [[spaziotempo]] e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato; per esempio, se ci sono m [[Campo scalare|campi scalari]] a valori reali, &phi;φ₁,...,&phi;φ''_m'', allora la varietà bersaglio è <math>\mathbb{R}^m</math>. Se il campo è un campo vettore reale, allora la varietà bersaglio è [[isomorfismo|isomorfa]] a <math>\mathbb{R}^n</math>. Ci sarebbe un modo molto più elegante usando il legamento tangente su M, ma ci atterremo a questa versione.

Ora, supponiamo esista un [[Analisi funzionale|funzionale]], <math>S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}</math>, detto [[Azione (fisica)|azione]]. Si noti che questo sarebbe una [[funzione (matematica)|mappatura]] su <math>\mathbb{R}</math>, non su <math>\mathbb{C}</math>, per motivi fisici.

Affinché l'azione sia locale, è necessario imporre ulteriori restrizioni sull'azione. Se <math>\phi\in\mathcal{C}</math>, noi assumiamo che S(&phi;φ) sia l'[[integrale]] su M di una funzione di &phi;φ, la sua [[derivata]], e che la posizione sia chiamata '''lagrangiana''', <math>\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)</math>. In altre parole,

:<math>\forall\phi\in\mathcal{C}\, S[\phi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)</math>.

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La maggior parte delle volte noi assumeremo anche che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, ma non dalle altre: tuttavia questo non è vero in generale, ma solo una questione di convenienza. Manterremo questa assunzione per tutto il resto di questo articolo.

Date le [[condizioni al contorno]], sostanzialmente specificando il valore di &phi;φ al [[bordo (matematica)|bordo]] di M, se questo è [[compatto]] o fornendo alcuni limiti su &phi;φ quando ''x'' tende all'[[infinito]] (questo ci aiuterà nell'[[integrazione per parti]]), possiamo denotare il [[sottoinsieme]] di <math>\mathcal{C}</math> che consiste di funzioni &phi;φ tali che tutte le derivate funzionali di S su &phi;φ sono [[zero|nulle]] e &phi;φ soddisfa le condizioni al contorno date.

La soluzione è fornita dalle [[equazioni di Eulero-Lagrange]] (grazie alle condizioni al contorno)

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\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0</math>.

Osserviamo che il membro sinistro è la derivata funzionale (cambiata di segno) dell'azione rispetto a &phi;φ.

== Voci correlate ==

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[[Categoria:Meccanica razionale]]

[[Categoria:SistemiTeoria dei sistemi dinamici]]

[[ca:Lagrangià]]