Gas ideale monoatomico: differenze tra le versioni

Versione delle 12:33, 25 gen 2009

Versione delle 13:07, 25 gen 2009

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:<math>H(q_i, p_i) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\mathbf p^2}{2m} = \sum_{i=1}^{3N} \frac{p_{i}^{2}}{2m} =H(p_i)</math>

Calcoliamo <math>\Sigma(E)</math> tenendo conto del conteggio corretto degli stati e del fatto che l'hamiltoniana non dipende dalle coordinate, ma solo dagli impulsi:

:<math>\sigmaSigma(E) = \frac{1}{N!} \int_{H \le E} \frac{d^{3N}q d^{3N} p}{h^{3N}} = \left( \frac{V}{h^{3}} \right)^N \int_{H \le E} d^{3N} p</math>

L'integrale è esteso all'ipervolume definito dalla relazione:

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Questa relazione definisce una iper-sfera N-dimensionale di raggio <math>R=\sqrt{2mE}</math>. Il calcolo di questo integrale è standard, grazie all'uso dell'[[gaussiana|integrale gaussiano]] e della [[funzione gamma di Eulero]]:

:<math>\Sigma(E) = \frac{\piV^N}{h^{3N/2} N!} \cdot \frac{ \pi^{\frac{3N}{2}} R^{3N} } { \Gamma(\frac{3N/2)} R^{3N/2}+1) } V^N</math>

Quindi l'entropia è:

:<math>\omegaS(E, V, N) = k \frac{\partialln \Sigma}{\partial= E}k =\ln \left[\frac{V^N}{h^{3N}N!} \cdot \frac{\pi^{\frac{3N/2}}{\Gamma(3N/2)}} (2 m)R^{3N/2} E^}{\Gamma(\frac{3N/}{2 - }+1)} \right]</math>

</math>

:<math>S(E,V,N) = k \ln \left[\frac{V^N}{h^{3N}N!} \cdot \frac{ \pi^{\frac{3N/2}}{\Gamma(3N/2)}} (2m2 \pi E)^{\frac{3N/}{2}} E^}{ \Gamma(\frac{3N/}{2 - }+1)} \right]</math>

L'entropia è:

Usando l'approssimazione di Stirling sia per il fattoriale che per la Gamma di Eulero si ottiene per l'[[entropia]]:

:<math>S(E,V,N) = k \ln \left[V^N \frac{\pi^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} (2m)^{3N/2} E^{3N/2 - 1} \right]</math>

:<math>S(E,V,N) =Nk N k\ln \left[ \frac{3V}{2N} + \lnfrac{e}{h^3} \left[( \frac{VE}{hN} \right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{4}{3} \pi m E}{3N}e \right)^{\frac{3/}{2}} \right] \right]</math>

Qui bisogna introdurre una costante che renda adimensionale l'argomento del logaritmo, questa costante ha le dimensioni di un volume dello spazio delle fasi, che è scelta in base ad argomenti quantistici essere <math>h^{3N}</math>. Usando Stirling e il fatto che <math>E^{3N/2 - 1} \approx E^{3N/2}</math> allora:

:<math>S(E,V,N) = N k \left[\frac{3}{2} + \ln \left[\frac{V}{h^2} \left(\frac{4 \pi m E}{3N} \right)^{3/2} \right] \right]</math>

Le altre proprietà termodinamiche derivano da questa:

:<math>\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial E} \right)_{V,N} = \frac{13}{T2} = \frac{3N k}{2E} \Rightarrow E=\frac{N k3}{E2}NkT</math>

:<math>\frac{P}{V}=\left(\frac{\partial S}{\partial V} \right)_{E,N} = \frac{p}{V} = \frac{N k}{V} \Rightarrow PV=NkT</math>

Da notare che senza introdurre il fattore ''N''! avremmo ottenuto un'entropia non additiva (anche se l'equazione di stato e l'energia sarebbero state corrette): l'introduzione del fattore ''N''! è giustificato quantisticamente dal calcolo delle distribuzioni di [[Statistica di Bose-Einstein|Bose-Einstein]] e [[Statistica di Fermi-Dirac|Fermi-Dirac]]: entrambe tendono, nel regime classico, alla [[distribuzione di Boltzmann]], che fa uso dell'''N'' fattoriale.

:<math>\left(\frac{\partial S}{\partial V} \right)_{E,N} = \frac{p}{V} = \frac{N k}{V}</math>

== Gas ideale con il canonico ==