Modulo piatto: differenze tra le versioni

Versione delle 16:03, 5 nov 2011

Versione delle 16:07, 5 nov 2011

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== Definizioni equivalenti ==

Per verificare la piattezza di un modulo è sufficiente considerare le [[successione esatta|successioni esatte]] corte: il moduloimodulo sinistro ''M'' è piatto se e solo se, per ogni esatta corta

:<math>0\longrightarrow N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0</math>

anche la successione [[prodotto tensoriale|tensorizzata]]

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la mappa <math>A\otimes_A A/xA\longrightarrow A\otimes_A A/xA</math> diventa l'omomorfismo nullo, mentre <math>A\otimes_A A/xA</math> non è il modulo nullo.

In particolare, se ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], tutte le localizzazioni <math>S^{-1}A</math> sono piatte; la piattezza è inoltre una ''proprietà locale'', nel senso che ''M'' è un modulo piatto se e solo la localizzazione ''M_P'' è piattopiatta per ogni [[ideale primo]] ''P''. Se ''A'' è anche [[dominio d'integrità|integro]], nessun [[anello quoziente|quoziente]] ''A/I'' è piatto; ampliando il ragionamento precedente, su un dominio d'integrità tutti i moduli piatti sono privi di [[sottogruppo di torsione|torsione]].

Ogni [[modulo libero]] e ogni [[modulo proiettivo]] sono piatti; il viceversa non è vero in generale, sebbene un modulo piatto [[finitamente presentato]] sia proiettivo.<ref>{{cita|Weibel|p.71}}</ref>

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Un anello ''A'' tale che tutti gli ''A''-moduli sinistri sono piatti è detto ''assolutamente piatto'' (o ''von Neumann regolare''); se questo avviene, allora anche tutti gli ''A''-moduli destri sono piatti. Equivalentemente, ''A'' è assolutamente piatto se per ogni ''a'' esiste un ''x'' tale che ''axa'' = ''a''; un'altra condizione equivalente è che tutti gli [[ideale (matematica)|ideali]] principali di ''A'' sono idempotenti, cioè sono tali che <math>I^2=I</math>.<ref>{{EncyMath|r/r080830}}</ref><ref name=abs-weib>{{cita|Weibel|p.97-98}}</ref>

Tra gli anelli commutativi, un [[anello locale]] è assolutamente piatto se e solo se è un campo;<ref>{{cita|Clarke|p.117-118}}</ref> in generale, unaun nelloanello commutativo è assolutamente piatto se e solo se è [[anello ridotto|ridotto]] e ha [[dimensione di Krull|dimensione]] 0.<ref name=abs-weib/>

Un esempio di anello assolutamente piatto è qualunque [[anello booleano]].