Modulo (algebra): differenze tra le versioni

Versione delle 17:10, 11 mar 2016

Versione delle 11:32, 31 mag 2016

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In [[matematica]], e in particolare in [[algebra]], un '''modulo''' è una [[struttura algebrica]] che generalizza il concetto di [[spazio vettoriale]] richiedendo che gli scalari non costituiscano un [[campo (matematica)|campo]] ma un [[anello (algebra)|anello]]: un modulo su un anello ''A'' è quindi un [[gruppo abeliano]] ''M'' su cui è definita un'operazione che associa ad ogni elemento di ''A'' e ad ogni elemento di ''M'' un nuovo elemento di ''M''.

Nonostante la definizione molto simile, i moduli possono avere proprietà radicalmente diverse da quelle degli spazi vettoriali: ad esempio, non tutti i moduli possiedono una [[base (algebra lineare)|base]], e quindi non è possibile definire una [[dimensione#Dimensione di Hamel|dimensione]] che li caratterizzi. Capire quali proprietà degli spazi vettoriali siano valide anche per i moduli - e sotto quali ipotesi sull'anello ''A'' - è parte integrante della teoria dei moduli.

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== Definizione ==

Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]]. Un ''A''-'''modulo sinistro''' ''M'' è un [[gruppo abeliano]] <math>(M,+)</math> su cui è definita un'operazione <math>A\times M \mapsto M</math> tale che

# <math>a(v+w)=av+aw</math> per ogni <math>a\in A,~v,w\in M</math>;

# <math>(a+b)v=av+bv</math> per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>;

# <math>(ab)v=a(bv)</math> per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>.

Analogamente, ''A''-'''modulo destro''' è un ''M'' su cui è definita un'operazione <math>M\times A \mapsto M</math> su cui valgono analoghi assiomi, ma in cui ''a'' e ''b'' sono scritti a destra degli elementi di ''M''; mentre nelle prime due proprietà questa differenza è solo cosmetica, nella terza questa è reale, in quanto <math>ab</math> non è, in generale, uguale a <math>ba</math>. Se l'anello ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], allora i concetti di modulo destro e sinistro coincidono.

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Qualora si voglia sottolineare questo assioma, si parla di ''modulo unitario''; in generale, tuttavia, quando l'anello è unitario si assume automaticamente che anche il modulo lo sia.

Un modo alternativo di vedere la definizione è attraverso la nozione di [[azione di gruppo|azione]]: per un fissato elemento <math>a\in A</math>, l'applicazione <math>\mu_a:M\longrightarrow M</math> tale che <math>\mu_a(v)=av</math> è un [[omomorfismo di gruppi|omomorfismo]] di ''M'' in sé stesso, e di conseguenza (usando il secondo e il terzo assioma di modulo) l'applicazione che associa ad ogni <math>a\in A</math> la moltiplicazione <math>\mu_a</math> è un omomorfismo di anelli tra ''A'' e l'insieme <math>End(M)</math> degli endomorfismi di ''M''. Questa osservazione costituisce il ponte tra la teoria dei moduli e la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]], che studia le azioni dei gruppi sugli spazi vettoriali, odo equivalentemente le azioni di anello delle corrispondenti [[algebra di gruppo|algebre di gruppo]].

== Esempi ==

* Quando l'anello ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno [[spazio vettoriale]].

* Un [[gruppo abeliano]] può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come <math>\mathbb{Z}</math>-modulo, in un modo unico: per ogni generico ''x'' del gruppo e per ogni ''n'' intero positivo basta definire <math>nx</math> come la somma di ''n'' repliche dell'elemento ''x'', definendo naturalmente <math>0x=0</math> e <math>(-n)x=-(nx)</math>. La teoria dei gruppi abeliani si può estendere in maniera naturale ai moduli sopra [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]].

* Un [[ideale (matematica)|ideale]] sinistro di un anello ''A'' è naturalmente un ''A''-modulo sinistro, e analogamente un ideale destro è un ''A''-modulo destro.

* Se ''A'' è un generico anello e ''n'' è un [[numero naturale]], allora il [[prodotto cartesiano]] <math>A^n</math>, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su ''A''. In particolare quando ''n'' = 1, ''A'' stesso è un ''A''-modulo, in cui la moltiplicazione per scalare è la moltiplicazione dell'anello.

* Se ''S'' è un [[insieme]] non vuoto, ''M'' è un ''A''-modulo sinistro, e <math>M^S</math> è la famiglia di tutte le [[funzione (matematica)|funzioni]] <math>f:S\longrightarrow M</math>, allora <math>M^S</math> può essere reso un ''A''-modulo sinistro definendo l'addizione termine a termine (<math>(f+g)(s)=f(s)+g(s)</math>) e la moltiplicazione attraverso la distributività (<math>(rf)(s)=r(f(s))</math>).

== Sottomoduli, omomorfismi e quozienti ==

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L'insieme degli omomorfismi tra due ''A''-moduli ''M'' ed ''N'' è esso stesso un ''A''-modulo, indicato con <math>Hom(M,N)</math> (oppure <math>Hom_A(M,N)</math> se è necessario chiarire quale sia l'anello base), definendo le operazioni come

* <math>(f+g)(v)=f(v)+g(v)</math> e

* <math>(af)(v)=a(f(v))</math>.

Per ogni ''A''-modulo ''M'' si ha un isomorfismo canonico <math>M\simeq Hom(A,M)</math>.

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== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|isbn=0-201-40751-5|lingua=inglese|cid=Atiyah}}

{{Algebra}}