Coefficiente binomiale: differenze tra le versioni

Versione delle 13:29, 8 giu 2023

Versione delle 15:02, 12 gen 2024

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:<math>{n \choose k} = {{n!}\over{k!(n-k)!}} = {{n!}\over{(n-k)![n-(n-k)]!}} = {n \choose n-k}.</math>

:Dimostrazione combinatoria: le scelte di <math>k</math> elementi sono in [[corrispondenza biunivoca]] con i sottoinsiemi degli <math>n-k</math> elementi tralasciati.

* <math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+1} + {n \choose k} </math>, ovvero: <math>{n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}.</math>

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* Dato un insieme <math>S</math>, tale che <math>|S|=n</math>, si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'[[insieme delle parti]] di <math>S</math>, <math>\mathcal{P}(S)</math>:

:<math>|\mathcal{P}(S)|=\sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n.</math>

*La potenza <math>n</math>-esima di un numero intero <math>x</math> può essere espressa con la [[sommatoria]] di tutte le possibili produttorie di <math>x-1</math> coefficienti binomiali <math>{n \choose a} {a \choose b} {b \choose c} \ldots {i \choose j} {j \choose k} {k \choose l} </math>, con <math>n \ge a \ge b \ge c \ge \ldots \ge i \ge j \ge k \ge l\ge0</math>. Esempio:

:<math>4^3 = {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 3} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 2} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 1} + {3 \choose 3} {3 \choose 3} {3 \choose 0} + {3 \choose 3} {3 \choose 2} {2 \choose 2} + \ldots + {3 \choose 1} {1 \choose 1} {1 \choose 0} + {3 \choose 1} {1 \choose 0} {0 \choose 0} + {3 \choose 0} {0 \choose 0} {0 \choose 0}.</math>

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Si può estendere il coefficiente binomiale al caso che <math>k</math> sia negativo, oppure maggiore di <math>n</math>, ponendo:

:<math>{n \choose k}=0,\qquad n,k\in\Z, n>0, k<0</math> oppure <math>k>n.</math>

Si può anche estendere il coefficiente ai [[Numero reale|numeri reali]]. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità <math>k</math> in uno di cardinalità <math>n</math> (ovvero il numero delle [[Disposizione#Disposizioni semplici|disposizioni semplici]] di <math>n</math> oggetti di classe <math>k</math>) ed il numero delle permutazioni di <math>k</math> oggetti:

:<math>{n \choose k}=\frac{(n)_k}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}.</math>

Si può porre: