Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 14:38, 18 ott 2005

Versione delle 14:54, 18 ott 2005

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* (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]: quello che ci dice è che l'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.

Può essere istruttivo presentare delle terne <math>(\mathbb X, 0, S)</math> dove uno degli assiomi di Peano non èvenga soddisfatto e <math>\mathbb X\!</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>\mathbb X\!</math> l'insieme vuoto; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P3), un modello possibile potrebbe essere quello dove <math>\mathbb X\!</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che manda n in <math>\max(n,1)</math>.

* Eliminando (P4), gli interi modulo <math>m</math>, con la funzione successore data da <math>n+1</math> (mod <math>m</math>), danno un esempio pratico.

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i razionali positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, lasciando come funzione successore l'usuale <math>n+1</math>.