Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 16:41, 26 mar 2006

Versione delle 16:44, 26 mar 2006

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:<math>n \mapsto s(s(...s(s(a_0))...))</math> con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<math>\square</math><br>

== GliIndipendenza degli assiomi di Peano sono "ridondanti"? ==

Un'altra domanda che ci possiamo porre è se gliGli assiomi di Peano possanosono essere "ridondanti"''indipendenti'', se cioèovvero qualcunonessuno di essi siapuò essere dimostrabiledimsotrato a partire dagli altri.Ci Lasi rispostapuò èconvincere no:facilmente nondi c'èquesto alcuna ridondanza. Lo si può dimostrare esibendocercando delle terne <math>(X, x_0, S)</math> doveper unocui degliun assiomiparticolare di Peanoassioma non venga soddisfatto e <math>X</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>X</math> l'insieme vuoto; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P2), abbiamo un modello dove <math>0</math> e <math>S</math> restano le stesse, ma <math>X=\{0,1,2,3,4,5\}</math> è dato dai numeri minori di <math>6</math>, e quindi il codominio di <math>S</math> è dato da <math>X \cup \{6\}</math>. È da notare che in questo caso (P5) è verificato, perché non esiste nessun sottoinsieme di <math>X</math> che contenga lo <math>0</math> e che sia chiuso rispetto ad <math>S</math>.