Funzione liscia

In matematica una funzione liscia è una funzione che ammette derivate parziali di qualsiasi ordine.

Una funzione è detta di classe C, o più comunemente C⁰, se è una funzione continua. Una funzione è di classe C¹ se ammette tutte le derivate parziali prime e queste sono funzioni continue. Una funzione è di classe Cⁿ per n ≥ 1 se essa ha tutte le derivate parziali di ordine n continue.

Le funzioni lisce sono quelle che giacciono nella classe Cⁿ per tutti gli n; ad esse vi si riferisce spesso anche come funzioni C^∞.

Per esempio la funzione esponenziale è evidentemente una funzione liscia, avendo derivate di qualsiasi ordine e pari a se stessa.

Definizione per le varietà differenziabili

Siano ${\displaystyle M,N}$  varietà differenziabili e p un punto di M. Una funzione

${\displaystyle F:M\rightarrow N}$ 

è detta differenziabile, o liscia, o di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$  in p se esistono una carta ${\displaystyle (U,\phi )}$  in p ed una carta ${\displaystyle (V,\psi )}$  in F(p) tali che ${\displaystyle F(U)\subset V}$  e la composizione

${\displaystyle \psi \circ \ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\rightarrow \psi (V)}$ 

sia liscia in un intorno di ${\displaystyle \phi (p)}$ .

Tale definizione non dipende dalle carte scelte: prendendo infatti altre carte ${\displaystyle (U',\phi ')}$ ,${\displaystyle (V',\phi ')}$  la composizione ${\displaystyle \psi '\circ \ F\circ \phi '^{-1}}$  rimane liscia in un intorno di ${\displaystyle \phi (p)}$ .

F sarà detta differenziabile, o liscia, o di classe ${\displaystyle C^{\infty }}$  se lo è per ogni p in M. Se inoltre F è invertibile con inversa liscia allora F si dirà un diffeomorfismo. Lo studio delle proprietà invarianti per diffeomorfismi è oggetto della topologia differenziale.

Costruire funzioni lisce tramite restrizioni

È spesso utile costruire funzioni lisce che sono nulle al di fuori di un dato intervallo, ma non all'interno dello stesso; tale proprietà non si può mai avere per una serie di potenze, il che mostra il divario tra le funzioni lisce e quelle analitiche. Il teorema di Taylor non può, pertanto, essere applicato in generale per espandere funzioni lisce.

Voci correlate

• Funzione differenziabile