Geometria
La geometria (dal greco antico, letteralmente misurazione della terra) è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.
Geometria euclidea
La geometria coincide fino al XIX secolo con la geometria euclidea. Questa definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, e assume la veridicità di alcuni assiomi, gli Assiomi di Euclide. Da questi assiomi vengono quindi ricavati dei teoremi anche complessi, come il Teorema di Pitagora.
La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nello spazio tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come "fili e fogli di carta senza spessore", e d'altro canto gli oggetti della vita reale vengono idealizzati, tramite enti geometrici come il triangolo o la piramide. In questo modo, i teoremi forniscono fin dall'antichità degli strumenti utili per la geografia, la navigazione, l'architettura.
Geometria piana
La geometria piana si occupa delle costruzioni geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l'esagono, ecc.
Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la lunghezza, l'angolo e l'area. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un angolo piatto, e l'area di un rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di base e altezza.
Geometria solida
La geometria solida studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide.
I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un'area. In più, il poliedro ha un volume. Si parla inoltre di angoli diedrali per esprimere l'angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume della piramide può essere espresso tramite l'area della figura di base e la lunghezza dell'altezza.
Figure curve
La geometria euclidea considera anche alcune figure curve. Le figure "base" sono la circonferenza nel piano e la sfera nello spazio, definite come l'insieme dei punti ad una distanza fissata da un punto dato. Partendo da queste figure, ne vengono definite altre come il cono. A queste figure vengono associate grandezze analoghe ai poliedri: si parla quindi di lunghezza della cironferenza, di area del cerchio e di volume della sfera.
L'intersezione nello spazio di un cono con un piano forma una nuova figura curvilinea: a seconda dell'inclinazione del piano, questa è una ellisse, una parabola, un'iperbole o una circonferenza. Queste sezioni coniche sono le curve più semplici realizzabili nel piano.
Ruotando una figura intorno ad una retta, si ottengono altre figure curvilinee. Ad esempio, ruotando un'ellisse o una parabola si ottengono l'ellissoide ed il paraboloide. Anche in questo caso, il volume dell'oggetto può essere messo in relazione con altre quantità.
La geometria euclidea non fornisce però sufficienti strumenti per dare una corretta definizione di lunghezza e area per molte figure curve.
Geometria cartesiana
La geometria cartesiana (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l'algebra e l'analisi. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con delle coordinate cartesiane. In questo modo ogni figura geometrica è descrivibile tramite una o più equazioni (o disequazioni).
Rette e piani sono oggetti risultanti da equazioni di primo grado, mentre le coniche sono definite tramite equazioni di secondo grado. Equazioni polinomiali di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi.
Il calcolo differenziale permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L'integrale è un utile strumento analitico per determinare queste quantità. Si parla in generale quindi di curve e superfici nel piano e nello spazio.
Spazi vettoriali
Retta, piano e spazio sono esempi di spazi vettoriali di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3: infatti ogni punto è esprimile rispettivamente con 1, 2 o 3 coordinate. La geometria cartesiana è facilmente estendibile alle dimensioni superiori: in questo modo si definiscono spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o più coordinate.
Grazie all'algebra lineare, lo studio delle rette e dei piani nello spazio può essere esteso allo studio dei sottospazi di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria. Lo studio di questi oggetti è strettamente collegato a quello dei sistemi lineari e delle loro soluzioni.
In dimensione più alta, alcuni risultati possono contrastare con l'intuizione geometrica tridimensionale a cui siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo.
Geometria affine
In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l'algebra lineare, si considerano infatti solo sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la formula di Grassmann.
Nella geometria affine il ruolo predominante dell'origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo spazio affine è considerato (fino alla scoperta della relatività ristretta) come lo strumento migliore per modellizzare l'universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o punti privilegiati.
Geometria algebrica
Dal XIX secolo in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di "abbellire" il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si aggiungono i "punti all'infinito" (creando così la geometria proiettiva), e si fanno variare le coordinate di un punto non solo nei numeri reali, ma anche in quelli complessi.
Geometria proiettiva
La geometria proiettiva nasce come strumento legato al disegno in prospettiva, e viene nel XIX secolo come un arricchimento della geometria cartesiana. La geometria proiettiva include i "punti all'infinito" ed elimina quindi alcune casistiche considerate fastidiose, come la presenza di rette parallele.
In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti diversi della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto.
Varietà algebriche
La geometria algebrica verte essenzialmente nello studio dei polinomi e delle loro radici: gli oggetti che tratta, chiamati varietà algebriche, sono gli insiemi dello spazio proiettivo, affine o euclideo definiti come luoghi di zeri di polinomi.
Nel XX secolo il concetto di varietà algebrica assume un importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel campo dei numeri complessi: in questo caso, grazie al teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio ha sempre delle radici.
Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i complessi formano un campo algebricamente chiuso) ha come conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto generale. Ad esempio, il teorema di Bézout dice che due curve planari di grado e che non hanno componenti in comune si intersecano sempre in punti, contanti con un opportuna molteplicità. Un risultato così generale è falso nell'ambito dei numeri reali.
Lo studio delle varietà algebriche poggia su risultati recenti di algebra, e più precisamente di algebra commutativa.
Cenni storici
Il suo sviluppo è molto antico, anche dato il numero di applicazioni pratiche che consente e per le quali è stata studiata, e non mancò di dare origine ad una categoria di studiosi che ebbero spesso, nelle civiltà remote, attribuzioni sacre o sacerdotali. Presso l'Antica Grecia si diffuse massicciamente l'uso della riga e del compasso (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove).
La geometria servì di base per lo sviluppo della geografia, e pian piano, soprattutto insieme alle tecniche per la navigazione marittima, si cominciarono a studiare funzioni che avrebbero poi dato luogo alla geometria analitica ed alla trigonometria.
Alcuni ambiti della geometria:
Voci correlate
Collegamenti esterni
- Geometria online Calcola automaticamente aree, perimetri, ecc. di figure piane e solide, con formule dirette e inverse.
- Applicazioni informatizzate della "Geometria descrittiva"