Formula di Viète

Disambiguazione – Se stai cercando le formule che mettono in relazione le radici e i coefficienti di un polinomio, vedi Formule di Viète.

In matematica, la formula di Viète, così denominata in onore del matematico francese François Viète (1540-1603), è la seguente rappresentazione mediante prodotto infinito della costante matematica π:

La formula di Viète, così come fu riportata sul suo Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593)

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$

L'espressione sulla destra deve essere intesa come espressione limite (per ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$)

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}}$

dove ${\displaystyle a_{n}}$ è il radicale quadratico dato dalla formula ricorsiva ${\displaystyle a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}}$ con condizione iniziale ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$.

Dimostrazione

Consideriamo la formula di duplicazione per la funzione seno

${\displaystyle \,\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}$  .

Applichiamola due volte per esprimere il seno dell'angolo quadruplo

${\displaystyle \,\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)=4\sin(x)\cos(x)\cos(2x)}$  .

Applicandola reiteratamente si ottiene l'identità

${\displaystyle {{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin(x)}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)}$ 

valido per tutti gli interi positivi ${\displaystyle n}$  (la dimostrazione dettagliata si ottiene con lo schema di dimostrazione per induzione). Ponendo ${\displaystyle y:=x2^{n}}$ e dividendo entrambi i membri per ${\displaystyle \cos \left({\frac {y}{2}}\right)}$  si ottiene

${\displaystyle {{\sin(y)} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).}$ 

Usando di nuovo la formula di duplicazione ${\displaystyle \sin y=2\sin \left({\frac {y}{2}}\right)\cos \left({\frac {y}{2}}\right)}$ otteniamo

${\displaystyle {{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).}$ 

Nel caso particolare y = π si ottiene l'identità

${\displaystyle {2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi \over {2^{i}}}\right)\ .}$ 

Rimane da collegare i fattori del secondo membro di questa identità con i termini ${\displaystyle a_{n}}$  introdotti inizialmente. Utilizzando la formula della bisezione dell'angolo per il coseno,

${\displaystyle 2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},}$ 

se ne deriva che ${\displaystyle b_{i}:=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)}$  soddisfa la formula ricorsiva ${\displaystyle \,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}}$  con condizione iniziale ${\displaystyle b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}}$ . Quindi ${\displaystyle a_{n}=b_{n}}$  per tutti gli interi positivi ${\displaystyle n}$ .

La Formula di Viète segue considerando il limite ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ . Notiamo infatti che

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over \pi }\cdot {{\pi \over 2^{n}} \over {\sin({\pi \over {2^{n}}})}}={2 \over \pi }}$ 

come conseguenza del limite notevole ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\,{x \over {\sin x}}=1}$ .

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