Osservatore dello stato e Esplosione di polveri: differenze tra le pagine

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Un<nowiki>'</nowiki>'''esplosione di polveri''' è un evento dannoso causato da una violenta [[reazione chimica|reazione]] di [[combustione]] di una [[polvere]] [[combustibile]], che avviene in presenza di particolari condizioni.

Nella [[teoria del controllo]], l''''osservatore di stato''' è un [[sistema dinamico]] con lo scopo di stimare l'[[spazio delle fasi|evoluzione di stato]] di un sistema da osservare.

== Fattori scatenanti ==

La conoscenza dello stato è necessaria per risolvere molti problemi legati al controllo; ad esempio per implementare leggi di controllo con [[retroazione|feedback]] quando non si può misurare direttamente lo stato del sistema o anche quando, pur potendo misurare lo stato, l'errore nella misurazione è più grande di quello che si commette andando a stimare lo stato del sistema. Affinché la stima sia possibile, occorre che il sistema di cui si vuole stimare lo stato sia osservabile, e quindi, che la matrice test di osservabilità abbia rango pari all'ordine del sistema. In tal modo, è possibile ricostruire lo stato del sistema a partire dall'osservazione dell'output.

{{F|combustibili|gennaio 2010}}

=== Pentagono dell'esplosione ===

Viene impiegato in tutte le applicazioni in cui lo stato del sistema non è completamente accessibile o di dimensione troppo elevata per predisporre altrettanti [[trasduttore|trasduttori]]. Può essere utilizzato anche per [[grandezza fisica|grandezze]] non misurabili direttamente, il cui valore deve essere ricavato attraverso la [[misura (metrologia)|misura]] di altre grandezze e l'utilizzo di un [[modello matematico]]. In questi casi l'osservatore permette di correggere gli [[Errore di misurazione|errori]] introdotti dalle [[Incertezza di misura|incertezze]] sul modello.

[[File:Pentagono dell'esplosione.svg|thumb|Pentagono dell'esplosione]]

In analogia al [[triangolo del fuoco]], che rappresenta le condizioni di [[infiammabilità]] (e conseguentemente di esplosività) per i combustibili liquidi e gassosi, nel caso delle polveri ci si riferisce al cosiddetto "'''pentagono dell'esplosione'''", che è applicabile anche nel caso di esplosioni di gas, vapori o nebbie.<ref>{{Cita|Melito|p. 225}}</ref>

== Struttura nel caso di un sistema dinamico lineare stazionario a tempo continuo ==

Consideriamo un [[sistema dinamico lineare stazionario]] di cui vogliamo osservare lo stato,

:<math>\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=\,A\vec{x}(t) + B\vec{u}(t)</math>

:<math>\vec{y}(t)= C\vec{x}(t) + D\vec{u}(t)</math>

Il [[Vettore (matematica)|vettore]] [[colonna]] <math>\vec{x}(t)</math> è ciò che vogliamo osservare, per quanto detto in precedenza abbiamo a disposizione gli ingressi forniti al sistema <math>\vec{u}(t)</math> e le sue uscite <math>\vec{y}(t)</math>.

Le cinque condizioni rappresentate nel pentagono delle esplosioni e necessarie per creare le condizioni di esplosività alle polveri sono:<ref name=pubint/>

Per costruire un osservatore di stato è necessario costruire un sistema dinamico che con le informazioni <math>\vec{u}(t)</math> e <math>\vec{y}(t)</math> riesca a stimare lo stato garantendone la convergenza:

* presenza di polvere combustibile;

:<math>\lim_{t \to +\infty} |\vec{x}(t) - \vec{\hat{x}}(t)| = \vec{0} </math>, dove <math>\vec{\hat{x}}(t)</math> è lo stato stimato.

* presenza di comburente nell'ambiente (generalmente [[ossigeno]]);

È bene notare che integrando il modello riusciremmo ad ottenere l'evoluzione di stato a meno di una costante, se dunque la condizione iniziale all'inizio dell'osservazione non è nulla non riusciremmo a raggiungere la convergenza dello stato osservato con quello reale.

* presenza di una fonte di [[innesco]] (ad esempio apporto di calore sufficiente all'attivazione della combustione);

* ambiente confinato (ad esempio un recipiente);

* [[miscelazione]] dei reagenti.

Rispetto al triangolo del fuoco, nel caso dell'esplosione di polveri intervengono due fattori aggiuntivi, che sono la presenza di confinamento del fenomeno e la miscelazione di combustibile e comburente.

Una espressione classica per l'osservatore di stato è la seguente:

:<math>\frac{d\vec{\hat{x}}(t)}{dt}=\,F\vec{\hat{x}}(t) + L\vec{u}(t) + G\vec{y}(t)</math>

dove <math>\vec{\hat{x}}(t)</math> è lo stato stimato.

Assumendo la dipendenza istantanea dell'uscita dall'ingresso nulla (<math>

D=

\begin{bmatrix}

0 & \dots & 0 \\

\vdots & \ddots & \vdots \\

0 & \dots & 0 \\

\end{bmatrix}

</math>) l'uscita stimata dal sistema può essere espressa come <math>\vec{y_s}(t) = C\vec{\hat{x}}(t)</math>. Dunque assumendo <math>F = A - GC </math> e <math>L = B </math> l'espressione dell'osservatore di stato diventa:

:<math>\frac{d\vec{\hat{x}}(t)}{dt}=\,A\vec{\hat{x}}(t) + B\vec{u}(t) + G(\vec{y}(t) - \vec{y_s}(t))</math>.

Entrando più nel dettaglio, l'esplosività di una polvere è funzione di molti fattori:

Questa nuova formulazione rende evidente la modalità con cui funziona l'osservatore di stato. Infatti lo stato osservato <math>\vec{\hat{x}}(t)</math> è ottenuto utilizzando il modello matematico noto a cui viene aggiunto un termine di correzione, questo termine è pesato dalla matrice <math>G</math> e modifica la stima dello stato in base alla "distanza" tra l'uscita misurata e quella stimata.

* natura del combustibile: la composizione chimica e il potere calorifico della polvere; in particolare le polveri metalliche producono le esplosioni più violente;

* concentrazione del comburente: concentrazioni di ossigeno superiori al 21% aumentano la velocità dell'esplosione; invece al disotto del 10% la combustione non si sostiene;

* granulometria: la riduzione della dimensione delle particelle aumenta la superficie di contatto combustibile comburente, provocando pressioni più elevate, e richiedendo energie di innesco minori;

* umidità: diminuisce la tendenza esplosiva, sia per la coesione delle particelle sia a causa della presenza dell'acqua che sottrae calore durante la sua vaporizzazione;

* turbolenza: facilita il mescolamento dei reagenti, sviluppando una combustione più veloce ed un fronte di fiamma più frastagliato;

* temperatura: all'aumentare della temperatura diminuisce l'umidità, aumentando quindi la velocità di reazione;

* pressione: un ambiente precompresso creerà un'esplosione più violenta, in quanto la pressione massima di esplosione si andrà ad aggiungere alla pressione che aveva l'ambiente di reazione prima dell'esplosione;

* inerti: gas o solidi (carbonati, cloruri di metalli alcalini o alcalino-terrosi) in sospensione non reagenti, sottraggono calore alla reazione nella misura del loro calore specifico; risulta una pressione massima di esplosione minore, e si necessita di un'energia di innesco maggiore; l'effetto inertizzante è tanto maggiore quanto più alto è il calore specifico del gas inerte; per le polveri metalliche, che ad alte temperature possono reagire con azoto e anidride carbonica, i gas inerti più efficaci sono [[argon]] ed [[elio]];

* presenza di gas infiammabili: quando al sistema combustibile-comburente sono aggiunti dei gas o vapori infiammabili, si parla di "miscele ibride"; è il caso dell'essiccamento di un prodotto di sintesi esplodibile da un solvente infiammabile; la presenza di tale componente abbassa il limite inferiore di infiammabilità della miscela anche quando le concentrazioni dei singoli componenti si trovano al di sotto dei singoli limiti di infiammabilità; in tali miscele è accentuata la violenza dell'esplosione; oltre al limite di infiammabilità subiscono un abbassamento anche la temperatura di accensione e l'energia minima di innesco.

=== ConvergenzaPolveri combustibili ===

È possibile dimostrare che le assunzioni fatte in precedenza garantiscono la convergenza allo stato stimato, per farlo è sufficiente sottrarre membro a membro l'equazione differenziale del sistema e quella dell'osservatore di stato:

:<math>\frac{d\vec{e}(t)}{dt}=\,(A- GC)\vec{e}(t)</math>, dove <math>\vec{e}(t) = \vec{x}(t) - \vec{\hat{x}}(t)</math>.

Se la [[matrice]] <math>A-GC</math> è una [[matrice definita negativa]] <math>\vec{e}(t)</math> tende a <math>\vec{0}</math>, quindi la convergenza è verificata.

I materiali combustibili da cui si possono avere origine polveri esplodibili sono:

=== Osservatore deterministico e non deterministico (stocastico) ===

* sostanze organiche naturali (ad esempio cereali, zucchero, carbone);

La caratterizzazione fatta è del tutto generale, è evidente che la velocità di convergenza dell'osservatore di stato può essere modificata agendo sulla matrice <math>G</math>. Tipicamente viene associato a questo tipo di osservatore il nome di '''Osservatore di Luenberger''' o di '''osservatore deterministico''' per distinguerlo dall'osservatore non deterministico detto '''[[Filtro di Kalman]]'''.

* sostanze organiche sintetiche (ad esempio pesticidi, materie plastiche);

In realtà entrambi i tipi di osservatore hanno la medesima struttura e si differenziano solo per la scelta della matrice <math>G</math>, nel caso deterministico la scelta è legata esclusivamente alla velocità di convergenza della stima. Mentre nel caso non deterministico la scelta è influenzata dall'incertezza sulla misura di <math>\vec{u}(t)</math> e <math>\vec{y}(t)</math>.

* materiali metallici ossidabili (ad esempio alluminio, zinco, ferro).

=== Influenza della dispersione delle polveri ===

==Caso a tempo discreto==

L'esplosione di una polvere miscelata intimamente con il comburente come è solito essere in una nube in sospensione, può esistere se la concentrazione della sospensione rientra entro certi limiti.

Lo stato di un [[sistema dinamico lineare invariante alla traslazione]], quindi a [[tempo discreto]], è rappresentato da

Se la densità è troppo elevata il calore è assorbito totalmente dalle particelle senza che l'ambiente ne tragga profitto, al contrario se la particelle sono troppo lontane, l'accensione locale non sviluppa un calore sufficiente a coprire la distanza.

Determinare i limiti di infiammabilità (o esplosività) delle polveri presenta dei problemi in quanto, mentre il gas è costituito da particelle di dimensioni molecolari, all'interno di un campione di polvere ci possono essere porzioni a [[granulometria (geologia)|granulometria]] differente che a causa dell'azione della [[forza di gravità]] possono formare zone a concentrazione differente in una stessa nube.

:<math>\vec{x}(k+1) = A \vec{x}(k) + B \vec{u}(k)</math><BR /><math>\vec{y}(k) = C \vec{x}(k) + D \vec{u}(k)</math>

Ciò rende difficoltosa la determinazione dei limiti di infiammabilità, soprattutto della concentrazione massima esplodibile.

L'intervallo di infiammabilità di una polvere (le concentrazioni si esprimono in genere in g/L o mg/cm³) è molto più esteso rispetto a quello di un gas e approssimativamente è compreso fra 10 mg/L e 6 g/L.

dove, al tempo <math>k, \vec{x}(k)</math> è lo stato del sistema; <math>\vec{u}(k)</math> rappresenta l'input; e <math>\vec{y}(k)</math> è l'output. Queste relazioni implicano che lo stato presente e futuro del sistema dipendono esclusivamente dallo stato e dall'input corrente. Sebbene queste equazioni siano in forma discreta, esse risultano molto simili anche nel continuo. Se il sistema è osservabile, l'output del sistema, <math>\vec{y}(k)</math>, può essere utilizzato per stimare lo stato.

== Effetti dell'esplosione ==

Il modello è tipicamente ottenuto dalle equazioni precedenti. Ulteriori termini possono essere inclusi al fine di assicurare la convergenza della stima dello stato al ricevere di successivi valori di input ed output. In particolare, l'output dell'osservatore può essere sottratto dall'output del sistema e poi moltiplicato per una matrice <math>L</math>; questo termine è poi aggiunto alle equazioni dello stato dell'osservatore ''n'' modo da ottenere il cosiddetto ''[[David Luenberger|Luenberger]] observer'', definito dalle equazioni seguenti.

Normalmente, le variabili stimate vengono indicate con un accento circonflesso: <math>\vec{\hat{x}}(k)</math> and <math>\vec{\hat{y}}(k)</math> per distinguerli dalle effettive variabili di stato, e le equazioni che ne determinano il comportamento sono

L'esplosione è una rapida combustione in uno spazio confinato, in cui la reazione chimica non ha il tempo di liberare tutta l'energia prodotta sotto forma di calore, per cui una parte consistente di energia si libera sotto forma di energia di pressione, che genera a sua volta lo spostamento dell'aria circostante a velocità elevatissime, con conseguenti rischi per le cose e le persone presenti nelle vicinanze.

:<math>\vec{\hat{x}}(k+1) = A \vec{\hat{x}}(k) + L \left[\vec{y}(k) - \vec{\hat{y}}(k)\right] + B \vec{u}(k)</math><BR /><math>\vec{\hat{y}}(k) = C \vec{\hat{x}}(k) + D \vec{u}(k)</math>

La violenza di un'esplosione in genere si misura attraverso i seguenti parametri:

L'osservatore è asintoticamente [[stabile (teoria dei sistemi)|stabile]] se l'errore <math>\vec{e}(k) = \vec{\hat{x}}(k) - \vec{x}(k)</math> converge a zero quando <math> k \rightarrow \infty </math>. Per un osservatore di [[David Luenberger|Luenberger]], l'errore soddisfa la relazione <math> \vec{e}(k+1) = (A - LC) \vec{e}(k)</math>. Esso è dunque asintoticamente stabile quando la matrice <math> A - LC </math> ha tutti gli [[autovalori]] nel semipiano negativo del [[piano complesso]] (cioè con [[parte reale]] negativa) (nel caso continuo) o all'interno del cerchio unitario (nel caso discreto).

* pressione massima sviluppata;

* velocità di incremento della pressione.

== Eventi disastrosi ==

Per quel che concerne il controllo, l'output dell'osservatore è retroazionato attraverso la matrice dei guadagni <math>K</math>.

[[File:Washburnamill.jpg|thumb|Rappresentazione stereoscopica del disastro avvenuto nel 1878 in Minnesota.]]

[[File:Imperial Sugar Georgia One.jpg|thumb|Conseguenze dell'esplosione di polveri nella [[Zuccherificio|raffineria di zucchero]] di [[Port Wentworth]], [[Georgia (Stati Uniti d'America)|Georgia]].]]

Di seguito è riportata una lista di alcuni esplosioni di polveri che hanno portato a conseguenze più o meno disastrose:

<math>\vec{u}(k) = -K \vec{\hat{x}}(k)</math>

* 14 dicembre [[1785]] - esplosione di farina in un deposito a [[Torino]]; è stata la prima esplosione di polveri accertata;<ref name=Ronch/>

Le equazioni dell'osservatore diventano:

* 2 maggio [[1878]] - esplosione di farina in un mulino presso [[Minneapolis]] ([[Minnesota]]); morti 18 lavoratori;<ref name=pubint/>

* 7 novembre [[1887]] - esplosione di farina ad [[Hameln]] ([[Bassa Sassonia]]); circa 30 morti;<ref name=Ronch>[http://www.scienzaegoverno.org/48/48esplo.htm Gino Ronchail, "Studio del fenomeno dell'esplosione di polveri nell'industria agro-alimentare"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060516040607/http://www.scienzaegoverno.org/48/48esplo.htm |data=16 maggio 2006 }}</ref>

:<math>\vec{\hat{x}}(k+1) = A \vec{\hat{x}}(k) + L \left(\vec{y}(k) - \vec{\hat{y}}(k)\right) - B K \vec{\hat{x}}(k)</math><BR /><math>\vec{\hat{y}}(k) = C \vec{\hat{x}}(k) - D K \vec{\hat{x}}(k)</math>

* [[1965]] - esplosione di polveri in una fabbrica di materie plastiche a [[Masterton]]; 4 morti;<ref>{{en}} [Dust Explosions in Factories - Precautions Required with Combustible Dusts http://www.osh.dol.govt.nz/order/catalogue/dustexplosions.shtml {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130131003817/http://osh.dol.govt.nz/order/catalogue/dustexplosions.shtml |date=31 gennaio 2013 }}]</ref>

* [[1982]] - esplosione di zucchero a [[Boiry-Sainte-Rictrude]] ([[Francia]]);<ref name=Ronch/>

o, più semplicemente,

* marzo [[1982]] - esplosione di un silos contenente orzo e malto a [[Metz]] ([[Francia]]);<ref name=Ronch/>

* 11 dicembre [[1995]] - esplosione di polveri di [[nylon]] in un impianto tessile a [[Methuen (Massachusetts)|Methuen]] ([[Massachusetts]]); feriti 37 lavoratori;<ref name=pubint/>

:<math>\vec{\hat{x}}(k+1) = \left(A - B K \right) \vec{\hat{x}}(k) + L \left(\vec{y}(k) - \vec{\hat{y}}(k)\right)</math><BR /><math>\vec{\hat{y}}(k) = \left(C - D K\right) \vec{\hat{x}}(k)</math>

* 1º febbraio [[1999]] - esplosione di polveri di [[carbone]] a [[Dearborn (Michigan)|Dearborn]] ([[Michigan]]) in un impianto della [[Ford|Ford Motor Company]]; 6 morti e 36 feriti;<ref name=pubint/>

* 16 luglio [[2007]] - esplosione di farina al Molino Cordero di [[Fossano]] (CN); 5 morti;

Sostituendo nelle equazioni del sistema che si intende stimare (chiamato plant) <math>\vec{y}(k)</math> si ha

* 7 febbraio [[2008]] - esplosione di zucchero nella [[Zuccherificio|raffineria di zucchero]] di [[Port Wentworth]], [[Georgia (Stati Uniti d'America)|Georgia]], di proprietà della [[Imperial Sugar]]; 14 morti e 38 feriti.<ref>[http://www.dustexplosion.info/ Dust explosion info | Website for dust explosion information<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>

* 17 marzo [[2008]] - esplosione di un impianto di stoccaggio e macinazione del grano a [[Lumut]] ([[Perak]]); 4 morti e 2 feriti;<ref>{{en}} [http://www.dosh.gov.my/doshv2/index.php?option=com_content&view=article&id=103%3Acombustible-dust-explosion&catid=84%3Asafety-alerts&Itemid=118&lang=en Department of Occupational Safety and Health Malaysia, "Combustible Dust Explosion"]</ref>

:<math>\vec{\hat{x}}(k+1) = \left(A - B K - L C \right) \vec{\hat{x}}(k) + L \vec{\hat{y}}(k)</math><BR /><math>\vec{\hat{y}}(k) = \left(C - D K\right) \vec{\hat{x}}(k)</math>

* novembre [[2010]] - esplosione di polveri di alluminio in un impianto per la fabbricazione di [[Cerchione|cerchioni]] di motocicli; 8 feriti;<ref>{{en}} [http://www.dosh.gov.my/doshv2/index.php?option=com_content&view=article&id=295%3Acombustible-dust-explosion-at-motorcycle-rim-manufactured-factory&Itemid=118&lang=en Department of Occupational Safety and Health Malaysia, "Combustible Dust Explosion at Motorcycle Rim Manufactured Factory"]</ref>

* 31 gennaio [[2011]] - esplosione di polveri a presso [[Nashville]] ([[Tennessee]]) in un impianto di produzione di polveri metalliche; morto un lavoratore;<ref name=pubint>{{en}} [https://www.publicintegrity.org/2012/05/29/8957/unchecked-dust-explosions-kill-injure-hundreds-workers Unchecked dust explosions kill, injure hundreds of workers]</ref> nello stesso anno (il 29 marzo e il 27 maggio) seguirono altri due eventi di esplosione di polveri nello stesso impianto, portando in totale alla morte di 5 lavoratori.<ref name=pubint/>

In virtù del principio di separazione è noto che controllore (matrice dei guadagni <math>K</math>) ed osservatore (matrice dei guadagni <math>L</math>) possono essere progettati indipendentemente. Il sistema complessivo (detto compensatore) sarà stabile se lo saranno i due sottosistemi. Una regola pratica consiglia di scegliere i poli dell'osservatore <math>A-LC</math> tali da convergere 10 volte più velocemente di quelli relativi al controllore <math>A-BK</math>.

== Caso non lineare ==

Se il sistema da osservare è governato da un modello non lineare risulta molto difficile fornire una struttura generale per un osservatore. In questi casi le formulazioni estese degli osservatori di [[David Luenberger|Luenberger]] e [[Rudolf Kalman|Kalman]] sono ottenute linearizzando il sistema per un generico punto di funzionamento (e non per un punto di equilibrio) ed introducendo una legge adattativa per la <math>G</math> che garantisca la convergenza dell'osservatore nei diversi punti di funzionamento.

La stabilità di tali osservatori viene discussa utilizzando la [[Stabilità secondo Lyapunov|Teoria di Lyapunov]].

Noti i problemi derivanti dalla linearizzazione un osservatore proposto e ormai abbastanza noto è quello sviluppato da Ciccarella-Dalla Mora-Germani. Si rimanda a [[Osservatore Non Lineare di Germani]]<ref>[1] Ciccarella G., M. Dalla Mora, A. Germani, "A Luenberger-like Observer for Nonlinear Systems<nowiki>''</nowiki>, International Journal of Control, vol. 57, no. 3, 537--556, 1993.</ref>.

==Note==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Melito | nome= Dante | titolo= Il rischio elettrico negli ambienti di lavoro. Con CD-ROM | editore= Maggioli Editore | città= | anno= 2008 | isbn= 88-387-4757-1 | cid= Melito | url= http://books.google.it/books?id=byy6PFhw1UkC}}

*{{Cita libro

* P. Cardillo, guida allo studio e alla valutazione delle esplosioni di polveri.

| cognome = Friedland

* J. Barton, Dust explosion, prevention and protection.

| nome = Bernard

* F.P. Lees, Loss prevention in the process industries.

| wkautore = Bernard Friedland

| anno = 2005

==Voci correlate==

| titolo = Control System Design. An introduction to State-Space Methods

* [[Esplosione]]

| editore = Dover

* [[Polvere]]

| isbn = 0-486-44278-0

}}

*{{Cita libro

| cognome = Sontag

| nome = Eduardo

| wkautore = Eduardo D. Sontag

| anno = 1998

| titolo = Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition

| editore = Springer

| isbn = 0-387-98489-5

}}

==Altri progetti==

== Voci correlate ==

{{interprogetto}}

*[[Sistema dinamico]]

*[[Controllo automatico]]

*[[Controllabilità]]

*[[Controllo PID]]

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|Controlli automatici}}

{{Portale|catastrofi|chimica}}

[[Categoria:TeoriaRischio delchimico controlloe prevenzione]]

[[Categoria:Catastrofi]]