Utente:Andrea And/Sandbox5: differenze tra le versioni
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===Cerchio===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
|-
| Cerchio sottile di raggio ''r'' e massa ''m''
| align="center"|[[Image:moment of inertia hoop.svg|170px]]
| <math>I_z = m r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!</math>
| Questo è un caso particolare sia del [[Toro (geometria)|toro]] per ''b'' = 0 (vedi più in basso), che del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con ''r''<sub>1</sub>=''r''<sub>2</sub> e ''h'' = 0.
|}
===Disco===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
|-
| [[Disco]] solido e sottile, di raggio ''r'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:moment of inertia disc.svg|170px]]
| <math>I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!</math>
| Questo è un caso particolare del cilindro solido, con ''h'' = 0.
|}
===Cilindro===
{| class="wikitable"
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! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
|-
| Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio ''r'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:moment of inertia thin cylinder.png]]
| <math>I = m r^2 \,\!</math> <ref name="serway">{{cita libro
|titolo=Physics for Scientists e Engineers, second ed.
|autore=Raymond A. Serway
|pagina=202
|editore=Saunders College Publishing
|isbn=0-03-004534-7
|anno=1986
}}</ref>
| Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). E' un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e ''r''<sub>1</sub>=''r''<sub>2</sub>.
Anche una massa puntiforme (''m'') alla fine di un'asta di lunghezza ''r'' ha lo stesso momento di inerzia, e il valore ''r'' è chiamato [[raggio di inerzia]].
|-
|Cilindro solido di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]]
|<math>I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!</math> <ref name="serway"/><br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)</math>
| Questo è un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con ''r''<sub>1</sub>=0. (Nota: in questa immagine gli assi X-Y sono scambiati rispetto agli assi cartesiani standard)
|-
| Tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, di raggio interno ''r''<sub>1</sub>, raggio esterno ''r''<sub>2</sub>, lunghezza ''h'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:moment of inertia thick cylinder h.png]]
| <!-- Please read the discussion on the talk pagina e the citad source before changing the sign to a minus. --><math>I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)</math> <ref name="serway"/><ref>{{cita web| url=http://www.livephysics.com/problems-e-answers/classical-mechanics/find-moment-of-inertia-of-a-uniform-hollow-cylinder.html|titolo= Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder|editore= LivePhysics.com|accesso=31 gennaio 2008|lingua=en}}</ref><br><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math><br>o definendo lo spessore normalizzato ''t<sub>n</sub>'' = ''t''/''r'' e ponendo ''r'' = ''r''<sub>2</sub>, <br>allora <math>I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}{t_n}^2\right) </math>
| con densità ''ρ'' e la stessa geometria <math>I_z = \frac{1}{2} \pi\rho h\left({r_2}^4 - {r_1}^4\right)</math> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} \pi\rho h\left(3({r_2}^4 - {r_1}^4)+h^2({r_2}^2 - {r_1}^2)\right)</math>
|}
===Sfera===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
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| [[Sfera]] (cava) di raggio ''r'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]]
|<math>I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!</math> <ref name="serway"/>
| Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di cerchi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da ''0'' a ''r'' (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da ''-r'' a ''r'').
|-
| [[Sfera]] (piena) di raggio ''r'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:moment of inertia solid sphere.svg|170px]]
|<math>I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!</math> <ref name="serway"/>
| Una sfera può essere considerata come costituita da due pile di dischi solidi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da ''0'' a ''r'' (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da ''-r'' a ''r'').
Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da ''0'' a ''r''.
|}
===Cono===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
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| [[Cono]] circolare [[Angolo retto|retto]] con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:moment of inertia cone.svg|120px]]
|<math>I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!</math> <ref name="beer">{{cita libro
|titolo=Vector Mechanics for Engineers, fourth ed.
|autore=Ferdine P. Beer e E. Russell Johnston, Jr
|pagina=911
|editore=McGraw-Hill
|isbn=0-07-004389-2
|anno=1984
}}</ref><br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}m\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math> <ref name="beer"/>
|—
|}
===Toro===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
|-
| [[Toro (geometria)|Toro]] con raggio del ''tubo'' (raggio del cerchio rosso) ''a'', distanza dal centro del ''tubo'' al centro del toro (raggio del cerchio rosa) ''b'' e massa ''m''.
|align="center"| [[Image:torus cycles.png|122px]]
| Intorno al diametro: <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m</math> <ref name="weisstein_toro">{{cita web
| url = http://scienceworld.wolfram.com/physics/MomentofInertiaRing.html
| titolo = Moment of Inertia — Ring
| autore = [[Eric W. Weisstein]]
| editore = [[Wolfram Research]]
| accesso = 2010-03-25
}}</ref><br/>
Intorno all'asse verticale: <math>\left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m</math> <ref name="weisstein_toro"/>
|—
|}
===Elissoide===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
|-
| [[Ellissoide]] (solido) di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'', con asse di rotazione ''a'' e massa ''m''
| [[Image:Ellipsoid_321.png|170px]]
|<math>I_a = \frac{m (b^2+c^2)}{5}\,\!</math>
|—
|}
===Piastra===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
|-
| Piastra rettangolare sottile di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''m'' <br>(Asse di rotazione all'estremità della piastra)
|align="center"| [[Image:Recplaneoff.svg]]
|<math>I_e = \frac {m h^2}{3}+\frac {m w^2}{12}\,\!</math>
|—
|-
| Piastra rettangolare sottile di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:Recplane.svg]]
|<math>I_c = \frac {m(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math> <ref name="serway"/>
|—
|}
===Parallelepipedo===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
|-
| [[Parallelepipedo]] solido di altezza ''h'', larghezza ''w'', profondità ''d'' e massa ''m''
|align="center"| [[Image:moment of inertia solid rectangular prism.png]]
|<math>I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right)</math>
| Per un cubo orientato allo stesso modo e con lati di lunghezza <math>s</math>: <math>I_{CM} = \frac{m s^2}{6}\,\!</math>.
|-
| [[Parallelepipedo]] solido di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'' e massa ''m'' con asse lungo la diagonale più lunga.
|align="center"| [[Image: Moment of Inertia Cuboid.jpg|140px]]
|<math>I = \frac{m\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math>
| Per un cubo di lato <math>s</math>, <math>I = \frac{m s^2}{6}\,\!</math>.
|}
===Poligono piano===
{| class="wikitable"
|-
! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
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| Poligono piano con vertici <math>\vec{P}_{1}</math>, <math>\vec{P}_{2}</math>, <math>\vec{P}_{3}</math>, ..., <math>\vec{P}_{N}</math> e
massa <math>m</math> uniformemente distribuita, che ruota intorno a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine.
|align="center"| [[Image:Polygon moment of inertia.png|130px]]
|<math>I=\frac{m}{6}\frac{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|((\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n+1})+(\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n})+(\vec{P}_{n}\cdot\vec{P}_{n}))}{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|}</math>
|Questa espressione assume che il poligono sia [[Insieme stellato|stellato]]. I vettori <math>\vec{P}_{1}</math>, <math>\vec{P}_{2}</math>, <math>\vec{P}_{3}</math>, ..., <math>\vec{P}_{N}</math> sono i [[Posizione|vettori posizione]] dei vertici.
|}
===Disco con massa distribuita normalmente===
{| class="wikitable"
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! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento
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| Disco infinito con massa [[Distribuzione normale|distribuita normalmente]] su due assi intorno all'asse di rotazione
(per esempio: <math> \rho(x,y) = \tfrac{m}{2\pi ab}\, e^{-((x/a)^2+(y/b)^2)/2} </math>
dove <math> \rho(x,y) </math> è la densità della massa in funzione di x e y).
|align="center"| [[File:Gaussian 2D.png|130px]]
| <math>I = m (a^2+b^2) \,\!</math>
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