Gruppo semplice: differenze tra le versioni

Versione delle 13:37, 3 nov 2006

Versione attuale delle 19:01, 28 giu 2025

(31 versioni intermedie di 25 utenti non mostrate)

Riga 1:

{{F|algebra|luglio 2017}}

{{A|come minimo da contestualizzare|matematica|novembre 2006|[[Utente:Elborgo|<font color="navy">&nbsp;<small>E</small><b>LB</b>orgo</font>]] <small>[[Discussioni_utente:Elborgo|<font color="gray"><b>(sms)</b></font>]]</small> 12:37, 3 nov 2006 (CET)}}Sia G un [[Gruppo]] con [[operazione interna]] *, esso si dice semplice se e solo se i suoi unici [[sottogruppi normali]] sono quelli banali; ovvero, oltre a G stesso, il suo unico [[sottogruppo]] normale è il [[gruppo]] unitario {u}.

In [[matematica]], un '''gruppo semplice''' è un [[gruppo (matematica)|gruppo]] non [[gruppo banale|banale]] i cui unici [[sottogruppo normale|sottogruppi normali]] sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso.

In altre parole, i gruppi semplici sono gruppi che contengono il minimo numero di sottogruppi normali. I gruppi semplici sono importanti in [[teoria dei gruppi]], specialmente nella teoria dei [[gruppo finito|gruppi finiti]], perché formano i "blocchi primari" per la costruzione di ogni gruppo finito.

Ricordo che G e {1} sono i sottogruppi banali di ogni [[gruppo]] G ad [[operazione interna]] *.

== Esempi ==

* Un [[gruppo ciclico]] <math>G = \Z / m \Z</math> è semplice se e solo se <math>m</math> è [[numero primo|primo]]: infatti tutti i sottogruppi di <math>G</math> sono normali, e corrispondono ai [[divisore|divisori]] di <math>m</math>.

* Il gruppo dei [[numeri interi]] <math>\Z</math> non è semplice, perché ad esempio i numeri pari formano un sottogruppo normale. Più in generale, un [[gruppo abeliano]] è semplice se e solo se è ciclico di ordine primo.

* Il più piccolo esempio di gruppo semplice non abeliano è il [[gruppo alternante]] <math>A_5</math> di ordine <math>60</math>. Più in generale, ogni gruppo alternante <math>A_n</math> è semplice per <math>n>4</math>.

* Il secondo esempio è il [[gruppo lineare speciale]] proiettivo <math>\rm{PSL}(2,7)</math>, di ordine <math>168</math>.

== Classificazione ==

{{Vedi anche|Classificazione dei gruppi semplici finiti}}

La classificazione dei gruppi semplici finiti fu conclusa nel [[1982]], grazie al contributo di numerosi matematici, tra cui [[John G. Thompson]].

== Voci correlate ==

*[[Gruppo (matematica)]]

*[[Sottogruppo normale]]

*[[Gruppo finito]]

*[[Classificazione dei gruppi semplici finiti]]

*[[Gruppo sporadico]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Algebra}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei gruppi]]