Cubottaedro: differenze tra le versioni

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{{Poliedro

[[Image:Cuboctahedron.jpg|thumb|250px|Cubottaedro]]

| nome = Cubottaedro

In geometria il '''cubottaedro''' è uno dei quindici [[poliedri archimedei]], ottenuto per troncamento ''totale'' delle otto cuspidi del [[Cubo]], oppure per troncamento ''totale'' delle sei cuspidi dell'[[Ottaedro regolare]].

| immagine = Cuboctahedron.svg

| tipo = [[Solido archimedeo]]

| facce = [[Triangolo equilatero|Triangoli]] e [[Quadrato (geometria)|quadrati]]

| n_facce = 14

| n_spigoli = 24

| n_vertici = 12

| valenze = 4

| duale = [[Dodecaedro rombico]]

| schläfli = r{4,3} o <math>\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br />rr{3,3} o <math>r\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br />t₁{4,3} o t_0,2{3,3}

| wythoff = 2 &#124; 3 4<br />3 3 &#124; 2

| coxeter = {{DCD|node|4|node_1|3|node}} o {{DCD||node_1|split1-43|nodes}}<br />{{DCD|node_1|3|node|3|node_1}} o {{DCD|node|split1|nodes_11}}

| proprietà = [[chiralità (matematica)|non chirale]]

| sviluppo_piano = Cuboctahedron flat.svg

| figura_vertice = Polyhedron 6-8 vertfig.svg

| figura_duale = Polyhedron 6-8 dual blue.png

| caratteristica_eulero = 2

}}

In [[geometria solida]], il '''cubottaedro''' è uno dei tredici [[solido archimedeo|poliedri archimedei]], ottenuto troncando le otto [[cuspide (poliedro)|cuspidi]] del [[cubo]], oppure le sei cuspidi dell'[[Ottaedro|ottaedro regolare]].

Ha 14 facce, di cui 6 [[quadrato (geometria)|quadrate]] e 8 [[triangolo equilatero|triangolari]], ognuno dei suoi 24 spigoli separa una faccia quadrata da una triangolare e in ciascuno dei suoi 12 vertici concorrono due facce quadrate e due triangolari.

=== Pertinenze quantitative ===

* n° facce (F=14: n°.6 quadrati e n°.8 triangoli equilateri).

* n° vertici (V=12)

* n° spigoli (S=24)

* valenza dei vertici (numero degli spigoli che fanno capo allo stesso vertice ) – VAL=4)

* n° cuspidi ([K3]=12, uguali) – (Base: rombo sferico).

* n° 1 ''sfera dei vertici'' (sfera circoscritta) di centro “O” (centro del poliedro).

* n° 1 ''intersfera'' (''sfera degli spigoli'') di centro “O”.

* n° 2 ''sfere delle facce'' di centro “O”.

* n° 9 ''piani concentrici di simmetria speculare'' ([[Enantiomorfismo]]).

* n° 4 ''piani concentrici di simmetria congrua''. L'intersezione di ciascun piano con il poliedro comprende sei spigoli del poliedro stesso formanti il perimetro di un ''esagono regolare''.

=== PertinenzeArea dimensionalie volume ===

L'area ''A'' ed il volume ''V'' di un cubottaedro i cui spigoli hanno lunghezza ''a'' sono le seguenti:

* Angoli di ciascuna [[cuspide]]: [A]=90°, 60° 90°, 60°.

:<math>A=(6+2\sqrt{3})a^2</math>

:<math>V=\begin{matrix}{5\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3</math>

=== CaratteristicheDualità ===

*Il [[Dualitàpoliedro duale]]: Ildel poliedrocubottaedro è ''duale'' delil [[Dodecaedrododecaedro rombico]].

== Simmetrie ==

Elementarmente, un poliedro P è ''duale'' di un altro Q allorquando il numero dei vertici di P è uguale al numero delle facce di Q e viceversa, conservando lo stesso numero di spigoli.

Il [[simmetria (matematica)|gruppo delle simmetrie]] del cubottaedro ha 48 elementi; il gruppo delle simmetrie che preservano l'orientamento è il gruppo ottaedrale <math> O \cong S_4 </math>. Sono gli stessi gruppi di simmetria del cubo, dell'ottaedro, del [[cubo troncato]] e dell'[[ottaedro troncato]].

Il cubottaedro è l'unico poliedro convesso in cui il raggio lungo (dal centro al vertice) è uguale alla lunghezza dello [[spigolo]]); quindi il suo diametro lungo (da un vertice al vertice opposto) è due volte la lunghezza dello spigolo. Questa simmetria equilatera radiale è una proprietà di pochi [[politopi]], tra cui l'[[esagono]] bidimensionale, il ''cubottaedro'' tridimensionale, e i quadridimensionali [[24-celle]] e [[tesseratto]]. I [[Politopo|politopi]] "radialmente equilateri" sono quelli che possono essere costruiti, con i loro raggi lunghi, da triangoli equilateri che si incontrano al centro del politopo, ciascuno dei quali contribuisce con due raggi e un bordo. Pertanto, tutti gli elementi interni che si incontrano al centro di questi politopi hanno facce interne a triangolo equilatero, come nella dissezione del cubottaedro in 6 [[piramidi]] quadrate e 8 [[tetraedri]]. Ognuno di questi politopi radialmente equilateri si presenta anche come cellula di un caratteristico riempimento dello spazio [[tassellazione]]: la tassellazione di esagoni regolari (nido d'ape), il [[tassellazione dello spazio]] cubica rettificata (formata dall'alternarsi di cubottaedri e ottaedri), la [[tassellazione 24-cellare]] e la [[tassellazione tesserattica]], rispettivamente. Ciascuna di queste ha una [[tassellazione duale]] in cui i vertici cellulari sono i centri cellulari della tassellazione originale.

* [[Isomeria geometrica]]: Il poliedro presenta una sola isomeria.

== Tassellatura ==

L'isomeria geometrica è la caratteristica distintiva di due o più [[Figure geometriche]] (Es.: [[Poliedri]]) che hanno le stesse ''pertinenze quantitative e dimensionali fondamentali'' (vertici, facce e spigoli), ma differiscono per la configurazione, ad esempio, delle cuspidi ([[Cuspide (geometria)]]).

[[File:Cuboctaedro.jpg|miniatura|Rotazione completa di un Cubottaedro]]

Il cubottaedro non [[tassellatura|tassella]] lo spazio da solo, ma è possibile tassellare lo spazio con cubottaedri e [[ottaedro|ottaedri regolari]] aventi spigoli della stessa lunghezza.

== Bicupola triangolare ==

• [[Tassellazione dello spazio]] - Il Cubottaedro è un ''Poliedro tassellatore'', nel senso che, unito faccia a faccia con l’[[Ottaedro regolare]], è in grado di riempire lo spazio.

[[File:Cubottaedro_e_Cubottaedro_isomero.jpg|thumb|Il cubottaedro (''girobicupola triangolare'') e l'[[ortobicupola triangolare]].]]

I 24 spigoli del cubottaedro identificano, a gruppi di sei, 4 [[esagono regolare|esagoni regolari]]. Tagliando lungo uno di essi, il cubottaedro viene diviso in due [[solido di Johnson|solidi di Johnson]] detti [[cupola triangolare|cupole triangolari]]. Ruotando le due cupole in modo da unire quadrati con quadrati e triangoli con triangoli si ottiene l'ortobicupola triangolare, un altro solido di Johnson. Utilizzando la stessa nomenclatura, il cubottaedro può anche essere chiamato ''girobicupola triangolare''.

== Legami con cubo e ottaedro ==

==== Pertinenze quantitative del Cubottaedro (isomero) ====

La seguente sequenza di poliedri illustra una transizione dal cubo all'ottaedro:

{| class="wikitable"

|[[File:Uniform_polyhedron-43-t0.svg|100px]]<BR><div align="center">[[cubo]]</div>

|[[File:Uniform_polyhedron-43-t01.png|100px]]<BR><div align="center">[[cubo troncato]]</div>

|[[File:Uniform_polyhedron-43-t1.svg|100px]]<BR><div align="center">cubottaedro</div>

|[[File:Uniform_polyhedron-43-t12.png|100px]]<BR><div align="center">[[ottaedro troncato]]</div>

|[[File:Uniform_polyhedron-43-t2.svg|100px]]<BR><div align="center">[[ottaedro]]</div>

|}

== Bibliografia ==

Il '''Cubottaedro isomero''' si ottiene ruotando di 60° una delle due parti in cui il poliedro rimane diviso da uno solo dei quattro ''piani concentrici di simmetria congrua''.

*{{cita libro | cognome=H. M. Cundy & A. P. Rollett| anno=1974|titolo=I modelli matematici| editore=Feltrinelli| città=Milano}}

*{{cita libro | cognome=Dedò| nome=Maria|| anno=1999|titolo=Forme, simmetria e topologia| editore=Decibel & Zanichelli | città=Bologna|isbn=88-08-09615-7|}}

* F, V, S, VAL, come il ''Cubottaedro (primitivo)''.

* n° cuspidi ([K3]=[K3]1+[K3]2=12), con:

* <nowiki>[K3]</nowiki>1=6 - (Base: rombo sferico) - (quadrato, triangolo equilatero, quadrato, triangolo equilatero).

* <nowiki>[K3]</nowiki>2=6 - (Base: trapezoide sferico) - (quadrato, quadrato, triangolo equilatero, triangolo equilatero).

* n° 1 ''piano di simmetria speculare''. L'intersezione del piano con il poliedro comprende sei spigoli del poliedro stesso formanti il perimetro di un ''esagono regolare''.

* n° 3 ''piani a stella di simmetria speculare'' perpendicolari a quello descritto al precedente comma. ([[Enantiomorfismo]]).

=== Connessioni solidali ===

I quattro esagoni regolari concentrici, intersezione dei ''piani di simmetria congrua'', aventi in comune, a due a due, una diagonale di seconda specie del poliedro, identificano la ''figura poliedrica'' detta '''Cubottaedro cavo''' (oltre gli esagoni, non ha alcun altro punto dello spazio).

=== Modello ===

Riesce facile costruire sia il ''modello in filo metallico'' ([[Filferromatica]]) dello ''scheletro essenziale'' (vertici e spigoli), che il ''modello in cartoncino'', o con altri materiali plastici (argilla, gesso, etc!).

[[Immagine:Cubottaedro_e_Cubottaedro_isomero.jpg]]

== Bibliografia ==

*{{cita libro | cognome=[Bibl.1] - H. M. Cundy & A. P. Rollett | anno=1974 |titolo=I modelli matematici | editore=Feltrinelli | città=Milano}}

== Voci correlate ==

*{{cita libro | cognome=Dedò| nome=[Bibl.2] - Maria|| anno=1999|titolo=Forme, simmetria e topologia| editore=Decibel & Zanichelli | città=Bologna | id=ISBN 88-08-09615-7|}}

* [[Cubo]]

* [[Dodecaedro rombico]]

* [[Ottaedro]]

* [[Poliedro archimedeo]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==

[[Categoria:Poliedri]]

* {{Collegamenti esterni}}

{{Poliedri}}

[[de:Kuboktaeder]]

{{Portale|matematica}}

[[en:Cuboctahedron]]

[[Categoria:Solidi archimedei]]

[[es:Cuboctaedro]]

[[fr:Cuboctaèdre]]

[[nl:Kuboctaëder]]

[[ja:立方八面体]]

[[pl:Sześcio-ośmiościan]]

[[pt:Cuboctaedro]]

[[zh:截半立方體]]