Circuito RC: differenze tra le versioni

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Un '''circuito RC''' (dall'inglese '''resistor-capacitor''', resistenza-condensatore) è un [[circuito elettrico]] del primo ordine basato su unaun [[resistore|resistenza]] e sulla presenza di un elemento dinamico, il [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]]. In regime di tensione o di corrente variabile, ad esempio in regime alternato, a seconda di come sono disposti i due componenti del circuito RC, esso è in grado di filtrare le frequenze basse, ed in tal caso prende il nome di [[filtro passa basso]], oppure quelle alte, ed in tal caso si dice [[filtro passa alto]], realizzando un filtro del primo ordine. Se considerato come cella elementare, esso è in grado di comporre filtri del secondo ordine e via dicendo come il filtro doppio passa basso ed il filtro doppio passa alto.

Per le sue caratteristiche questo circuito è basilare per funzioni quali la pulizia di un segnale e nei [[sintetizzatore|sintetizzatori]]. Inoltre esso costituisce anche un tipo di derivatore e di integratore elementare sotto certe condizioni. Sfruttando il principio di carica e scarica del condensatore, questa configurazione trova utilizzo anche come oscillatore. In particolare è utilizzato per la generazione di segnali di [[clock]]<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Giuliano|cognome=Donzellini|nome2=Luca|cognome2=Oneto|nome3=Domenico|cognome3=Ponta|data=2018|titolo=Introduzione al Progetto di Sistemi Digitali|accesso=2021-06-22|doi=10.1007/978-88-470-3963-6|url=http://dx.doi.org/10.1007/978-88-470-3963-6}}</ref>, e se abbinato col [[Trigger di Schmitt]] permette di creare segnali digitali. Tuttavia, vista la variabilità dei comportamenti del [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]] in funzione delle condizioni ambientali, questa configurazione è utilizzata nelle applicazioni in cui la temporizzazione non necessita grande precisione.<ref>{{Cita libro|nome=Horowitz, Paul Hayes, Thomas|cognome=C.|titolo=The art of electronics|url=http://worldcat.org/oclc/938708695|accesso=2021-06-22|data=2001|editore=Cambridge Univ. Press|OCLC=938708695|ISBN=0-521-37095-7}}</ref>

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:<math>\;\;v_C(t) = v_0 \cdot e^{-t / RC}</math>

La corrente segue la legge di [[scarica di un condensatore]]:

:<math>\;\;i(t) = C \cdot \frac{dv_C(t)}{dt} = - \frac{v_0}{R} \cdot e^{-t / RC}</math>

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:<math>\;\;i(t) = C \cdot \frac{dv_C(t)}{dt} = - \frac{v_C(0) - V_0}{R} \cdot e^{-t / \tau}</math>

Fisicamente la presenza della tensione costante del generatore induce che la tensione ai capi di ''C'' <math>v_C(t)</math> cresca esponenzialmente partendo da <math>v_C(t=0) = v_C(0)</math> fino a tendere al valore della tensione costante del generatore. Dunque per <math>t \to \infty</math> si ha che <math>v_C(t) \to V_0</math>. Viceversa la corrente indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale <math>\frac{V_0-v_C(0)}{R}</math> fino a tendere al valore i = 0 .

Quando al tendere di <math>t \to \infty</math> la tensione <math>v_C(t) \to V_0 = cost</math>, il condensatore si comporta come un [[circuito aperto]]. A regime di tensione costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di tensione costante e da un condensatore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza del condensatore sia aperto.

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[[File:Circuito rc Vvrvc.png|thumb|V,Vr,Vc]]

Vediamo come si comporta il circuito RC applicando un generatore di [[onda sinusoidale]]. In questo caso possiamo applicare la legge di Kirchhoff delle tensioni per il circuito:

:<math>V_0 \cos(\omega t) = R \cdot i(t) + v_C (t)</math>

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nella quale <math>\tau = RC</math> è ancora la costante di tempo del circuito. La soluzione generale è data dalla somma della soluzione dell'omogenea associata:

:<math>v_Cv_{C_o}(t) = v_C(0)A e^{-\frac{t}{\tau}}</math> con <math>A</math> costante da determinare

Per la particolare invece essendo l'equazione di primo grado e il termine forzante sinusoidale, si suppone sia del tipo:

e una soluzione particolare:

:<math>v_{C_p}(t) = K \cos (\omega t + \theta) \ </math>

Dopodiché si sostituisce <math>v_{C_p}(t)</math> nell'equazione differenziale e mediante confronto si determinano i parametri:

dove K è una costante. Dunque:

:<math>v_C(t)K = v_C(0) e^{-\frac{tV_0}{\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}}</math> +e K<math> \costheta = -\arctan(\omega t + \thetatau)</math>

<math>K</math> è il modulo del fasore associato a <math>v_C</math> mentre <math>\theta </math> è la fase (vedi sottosezione successiva)

Dunque la soluzione generica sarà:

:<math>v_{C_g}(t) = v_{C_o}(t) + v_{C_p}(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} + K \cos(\omega t + \theta)</math>

E infine imponendo la condizione iniziale <math>v_C(t = 0) = v_C(0)</math> otteniamo la soluzione finale:

:<math>v_C(t) = (v_C(0) - K \cos(\theta)) e^{-\frac{t}{\tau}} + K \cos(\omega t + \theta)</math>

Anche in questo caso abbiamo una risposta transitoria data dall'esponenziale, la quale in un primo tempo, prevale sulla risposta permanente, data da un'altra sinusoide. Perciò per la durata del periodo di transizione la tensione ai capi di ''C'' prevale l'esponenziale e quindi essa si discosta dalla tensione sinusoidale di ingresso, dopo la fase transitoria la tensione ritorna ad essere una sinusoide con uguale pulsazione della tensione di ingresso. L'analisi di questo circuito può anche essere fatta per mezzo del [[metodo simbolico]] utilizzando i [[Fasore|fasori]] e la [[trasformata di Fourier]]<ref name=":0">{{Cita libro|nome=Cicogna,|cognome=Giampaolo|titolo=Metodi matematici della Fisica|url=http://worldcat.org/oclc/1194520151|accesso=2021-06-22|data=2015|editore=Springer|OCLC=1194520151|ISBN=978-88-470-5684-8}}</ref>, sostituendo alle grandezze sinusoidali i loro corrispondenti fasori: i risultati sono identici, in quanto vige la [[Legge di Ohm|legge di Ohm simbolica]] anche per regimi sinusoidali. In alternativa si può usare il [[metodo operatoriale]] più generale della [[trasformata di Laplace]].

=== Metodo simbolico per la risposta in frequenza ===

Per calcolare la soluzione particolare si può ricorrere anche al [[metodo simbolico]], ricordandoci però che ci descrive solo la situazione a regime ovvero il termine sinusoidale della soluzione, il termine transitorio dato dall'esponenziale va calcolato come sopra.

Utilizzando il [[metodo simbolico]]:

Utilizzando il [[metodo simbolico]] trasformiamo le seguenti grandezze:

:<math>v_C(t) => \mathbf{V}_C</math>

:<math> i_C(t) => \mathbf{I}_C</math>

:<math>V_0\cos(\omega t) => \mathbf{V_0} = V_0</math> (siccome la fase è nulla)

Quindi ricordando l'equazione originaria nel [[dominio del tempo]]:

:<math>V_0\cos(\omega t) = R\cdot i_C(t) + v_C(t)</math>

Si passa all'equazione nel dominio delle frequenze:

:<math>V_0 = R\cdot \mathbf{I}_C + \mathbf{V}_C</math>

E sapendo che:

:<math>\mathbf{I}_C = \frac{\mathbf{V_C}}{Z_C} = j\omega C \mathbf{V}_C </math> in cui <math>Z_C = \frac{1}{j\omega C}</math> è l'[[impedenza]] del [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]]

si arriva a:

:<math>j \omega \tau \mathbf{V}_C + \frac{1}{\tau} \mathbf{V}_C = \frac{1}{\tau} V_0</math>

da cui si ricava subito la tensione di uscita ai capi del [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]]<math>\mathbf{V}_C</math>:

:<math>\mathbf{V}_C = \frac{V_0}{1 + j \omega \tau}</math>

Riga 158 ⟶ 190:

:<math>|\mathbf{V}_C| = \frac{V_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}</math>

:<math>argArg \mathbf{V}_C = 0 - \arctan (\omega \tau)</math>

Per ritornare all'analisi nel tempo dobbiamo risostituirericordarci illa modulodefinizione edi l'argomento[[fasore]]:

:<math>v_C(t) = |Re\{\mathbf{V}_C| \cdot arge^{jwt}\}= Re\{|\mathbf{V}_C| e^{Arg \mathbf{V}_C + jwt}\} = \frac{V_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \cos( \omega t - \arctan (\omega \tau))</math>

Da questa ricaviamo le altre informazioni sul circuito:

Riga 222 ⟶ 254:

* [[Filtro passa alto]]

* [[Circuito RL]]

* [[Circuito LC]]

* [[Circuito RLC]]

* [[Snubber]]

Riga 227 ⟶ 260:

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