3-varietà irriducibile: differenze tra le versioni

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In [[geometria]], e più precisamente nella [[topologia della dimensione bassa]], una '''3-varietà irriducibile''' è una [[3-varietà]] in cui ogni sfera borda una palla. Una 3-varietà che contiene una sfera non bordante una palla è invece detta '''riducibile''': questa può essere effettivamente "ridotta" ada una varietà più semplice tramite l'operazione inversa della [[somma connessa]]. Una 3-varietà è '''prima''' se non è ottenuta come somma connessa non banale di due varietà. I concetti di ''irriducibile'' e ''prima'' sono equivalenti per tutte le 3-varietà, con due sole eccezioni. L'ipotesi di irriducibilità è però più facile da esprimere e da gestire in molti casi, ed è quindi quella usata più spesso.

Una 3-varietà è '''prima''' se non è ottenuta come somma connessa non banale di due varietà. I concetti di ''irriducibile'' e ''prima'' sono equivalenti per tutte le 3-varietà, con due sole eccezioni. L'ipotesi di irriducibilità è però più facile da esprimere e da gestire in molti casi, ed è quindi quella usata più spesso.

== Definizioni ==

=== Varietà irriducibile ===

Una [[3-varietà]] è '''irriducibile''' se ogni sfera liscia borda una palla. Più rigorosamente, una 3-varietà

[[varietà differenziabile|differenziabile]] [[spazio connesso|connessa]] <math>M</math> è '''irriducibile''' se ogni [[sottovarietà differenziabile]] <math>S</math> [[omeomorfismo|omeomorfa]] ada una [[sfera]] è bordo <math>S=\partial D </math> di un sottoinsieme <math>D</math> omeomorfo alla palla chiusa

:<math>D^3 = \{x\in\R^3\ |\ |x|\leq 1\}. </math>

L'ipotesi di differenziabilità per <math>M</math> non è importante, perché ogni 3-[[varietà topologica]] ha un'unica struttura differenziabile. L'ipotesi che la sfera sia ''liscia'' (cioè che sia una sottovarietà differenziabile) è invece importante: èla infattisfera importantedeve cheavere la sfera abbiainfatti un [[intorno tubolare]].

Una 3-varietà non irriducibile è '''riducibile'''.

=== Varietà prima ===

Una 3-varietà connessa <math>M</math> è '''prima''' se non è ottenibile come [[somma connessa]]

:<math>M=N_1\# N_2 </math>

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== Esempi ==

=== Spazio euclideo ===

Lo [[spazio euclideo]] tridimensionale <math> \R^3 </math> è irriducibile: ogni sfera liscia nello spazio borda effettivamente una palla.

D'altra parte, la [[sfera di Alexander]] è una sfera in <math>\R^3</math> non liscia, che non borda una palla: l'ipotesi sulla liscezza della sfera è quindi necessaria.

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== Varietà prime e irriducibili ==

Una 3-varietà è irriducibile se e solo se è prima, tranne in due casi: il prodotto <math>S^2\times S^1</math> ed il [[fibrato]] [[orientabilità|non orientabile]] <math>S^2\widetilde\times S^1</math> di sfere su <math>S^1</math> sono entrambe prime ma non irriducibili.

=== Da irriducibile a prima ===

Una varietà irriducibile <math>M</math> è effettivamente prima. Infatti, se

:<math>M=N_1\#N_2, </math>

la <math>M</math> è ottenuta rimuovendo due palle da <math>N_1</math> e <math>N_2</math>, e quindi [[taglia e incolla in topologiaIncollamento|incollando]] le due sfere di bordo risultanti. Queste due sfere incollate formano una sfera <math>S</math> in <math>M</math>. Per ipotesi, deve bordare una palla. Ripercorrendo l'operazione di somma connessa a ritroso, <math>N_1</math> oppure <math>N_2</math> è ottenuta incollando due palle chiusa per il bordo. Questa operazione porta però soltanto ad <math>S^3</math>: quindi uno dei due fattori è in realtà banale, e la varietà <math>M</math> è prima.

=== Da prima a irriducibile ===

Sia <math>M</math> una varietà prima. Sia <math>S</math> una sfera in essa contenuta. [[taglia e incolla inTaglio (topologia)|Tagliando]] lungo <math>S</math> si può ottenere una sola varietà <math> N </math> oppure due varietà <math>M_1</math> e <math>M_2</math>. Nel secondo caso, [[taglia e incolla in topologiaIncollamento|incollando]] due palle chiuse nei due nuovi bordi sferici si ottengono due varietà <math>N_1</math> e <math>N_2</math> tali che

:<math>M = N_1\#N_2. </math>

Poiché <math>M</math> è prima, una delle due, ad esempio <math>N_1</math>, è <math>S^3</math>. Quindi <math>M_1</math> è <math>S^3</math> meno una palla: è quindi anch'esso una palla. La sfera <math>S</math> quindi borda una palla: la varietà <math>M</math> è quindi irriducibile.

Resta da considerare il caso in cui tagliando lungo <math>S</math> si ottiene un pezzo solo <math>N</math>. Esiste quindi una [[curva semplice chiusa]] <math>\gamma </math> in <math>M</math> intersecante <math>S</math> in un punto solo. Sia <math> R </math> l'unione di due [[intorno tubolare|intorni tubolari]] di <math>S</math> e <math>\gamma </math>. Il bordo <math>\partial R</math> risulta essere una sfera: questa deve bordare una palla. La varietà risultante è quindi pressoché determinata, ed unae un'analisi attenta porta a verificare che si tratta di <math>S^2\times S^1</math> oppure dell'altro fibrato non orientabile.

== Bibliografia ==

* {{cita libro|nome = William| cognome = Jaco| titolo = Lectures on 3-manifold topology | idisbn = ISBN 0-8218-1693-4}}

== Voci correlate ==

* [[3-varietà]]

* [[Somma connessa]]

* [[Teorema di Kneser-Milnor]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{portale|matematica}}