Teorema di Lagrange e Matthew Dunn: differenze tra le pagine

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{{S|nuotatori australiani}}

{{nota disambigua|il teorema di Lagrange nella teoria dei gruppi|[[Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)]]}}

{{Bio

In [[analisi matematica]] il '''teorema di [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]''' (o '''del valor medio''' o '''dell'incremento finito''') è un risultato che si applica a [[funzione di variabile reale|funzioni di variabile reale]].

|Nome = Matthew Stephen

|Cognome = Dunn

|Sesso = M

|LuogoNascita = Leeton

|GiornoMeseNascita = 2 settembre

|AnnoNascita = 1973

|LuogoMorte =

|GiornoMeseMorte =

|AnnoMorte =

|PreAttività = è un ex

|Attività = nuotatore

|Nazionalità = australiano

}}

{{Sportivo

|Nome= Matthew Dunn

|NomeCompleto= Matthew Stephen Dunn

|Immagine=

|Sesso = M

|CodiceNazione = {{AUS}}

|Altezza=

|Peso=

|Disciplina= Nuoto

|Specialità= 100 m, 200 m, 400 m misti, 4x100 m sl, 4x200 m sl

|Ruolo=

|Ranking=

|Squadra=

|Palmares=

{{Palmarès

|competizione 3 = [[Campionati mondiali di nuoto|Mondiali in vasca corta]]

|oro 3 = 8

|argento 3 = 2

|bronzo 3 = 0

|competizione 4 = [[Giochi PanPacifici]]

|oro 4 = 6

|argento 4 = 1

|bronzo 4 = 3

|competizione 5 = [[Giochi del Commonwealth]]

|oro 5 = 4

|argento 5 = 0

|bronzo 5 = 0

|dettagli=

}}

|Incontri=

|Allenatore=

|Aggiornato= 4 agosto 2007

}}

Specializzato nei misti ha partecipato alle Olimpiadi di {{OE|Nuoto|1996}}.

== Idea intuitiva ==

[[File:Mvt2 italian.svg|thumb|200px|Teorema di Lagrange]]

Supponiamo una funzione di variabile reale a valori reali ''f''(''x'') definita nell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] che va dal punto ''a'' al punto ''b'', come nell'immagine a fianco, sufficientemente "liscia", cioè tale che essa è [[funzione continua|continua]] e ogni suo punto ha una [[tangente (geometria)|tangente]], quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate, e tracciamo la retta [[secante (geometria)|secante]] il grafico che passa per i punti (''a'',''f''(''a'')) e (''b'',f(''b'')), gli estremi di ''f''(''x'') nell'intervallo considerato (in arancione): essa intersecherà ''f''(''x'') almeno in due punti, inizialmente: ''f''(''a'') e ''f''(''b'').

==Palmarès==

Ora se spostiamo idealmente questa retta verso il basso, sempre mantenendola parallela con la stessa pendenza, notiamo che essa andrà a coincidere con la retta in verde, [[tangente (geometria)|tangente]] alla curva nel punto (''c'',f(''c'')): il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate esiste almeno un punto di ascissa ''c'', come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico.

*[[Campionati mondiali di nuoto|Mondiali in vasca corta]]

:[[Campionati mondiali di nuoto in vasca corta 1995|Rio de Janeiro 1995]]: oro nei 200m misti, nei 400m misti e nella 4x200m sl e argento nella 4x100m sl.

:[[Campionati mondiali di nuoto in vasca corta 1997|Göteborg 1997]]: oro nei 200 misti, nei 400m misti e nella 4x200m sl.

:[[Campionati mondiali di nuoto in vasca corta 1999|Hong Kong 1999]]: oro nei 200m misti e nei 400m misti e argento nei 100m misti.

*[[Giochi PanPacifici]]

== Enunciato ==

:[[Giochi PanPacifici 1991|Edmonton 1991]]: bronzo nei 400m misti.

Sia <math>f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}</math> [[funzione continua|continua]] in ''[a, b]'' e [[funzione derivabile|derivabile]] in ''(a, b)''; allora

:[[Giochi PanPacifici 1993|Kōbe 1993]]: oro nei 200m misti e nei 400m misti.

:<math>\exists \ c \ \in (a, b)\ : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

:[[Giochi PanPacifici 1995|Atlanta 1995]]: oro nella 4x200m sl, argento nei 200m misti e bronzo nei 400m misti.

:[[Giochi PanPacifici 1997|Fukuoka 1997]]: oro nei 200m e nei 400m misti.

:[[Giochi PanPacifici 1999|Sydney 1999]]: oro nei 400m misti e bronzo nei 200m misti.

*[[Giochi del Commonwealth]]

== Dimostrazione ==

:[[XV Giochi del Commonwealth|Victoria 1994]]: oro nei 200m misti e nei 400m misti.

:[[XVI Giochi del Commonwealth|Kuala Lumpur 1998]]: oro nei 200m misti e nella 4x200m sl.

{{Portale|biografie|sport}}

Ai fini della dimostrazione dobbiamo cercare una funzione a cui si possa applicare il [[teorema di Rolle]]. In particolare dobbiamo fare in modo che essa rispetti la terza ipotesi, non garantita dalla ipotesi di Lagrange

Sia ''g''(''x'') la seguente funzione lineare:

:<math>g(x) = f(a) + \frac{f(b)-f (a)}{b-a}(x-a)</math>

Si tratta della retta passante per i punti <math>\, A</math> <math>\, B</math> della figura.

Sia ora ''h''(''x'') la differenza tra le due funzioni ''f''(''x'') e ''g''(''x''): <math>\, h(x) = (f-g)(x) = f(x) - g(x)</math>

<math>h(x) = f(x) - g(x)\,</math>

<math>g(a) = f(a) + \frac{f(b)-f (a)}{b-a}(a-a) = f(a)</math>

<math>g(b) = f(a) + \frac{f(b)-f (a)}{b-a}(b-a) = f(a) + f(b) - f(a) = f(b)</math>

Quindi ''h''(''x'') si annulla nei punti ''a'' e ''b'' (vi assume quindi valori identici):

<math>h(a) = f(a) - g(a) = 0 \qquad \qquad h(b) = f(b) - g(b) = 0</math>

Per il [[teorema di Rolle]], se una funzione è continua in un intervallo [''a'', ''b''], derivabile in (''a'', ''b'') ed assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto c la cui derivata sia 0.

La funzione ''h''(''x'') è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi ed una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado). La terza ipotesi di Rolle la abbiamo dimostrata poco prima.

Applichiamo quindi il teorema alla funzione ''h''(''x''), dal momento che ne soddisfa tutte le condizioni:

<math>\exists \ c \in (a, b) : h'(c) = 0</math>

<math>h'(c) = f'(c) - g'(c) = 0\Longrightarrow \ f'(c) = g'(c)</math>

''g''(''x'') è una retta, e la derivata prima di una retta è, in ogni suo punto, uguale al suo coefficiente angolare:

<math>g'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}</math>

<math>f'(c) = g'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}</math>

ed il teorema è così dimostrato.

== Osservazione ==

Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del [[Teorema di Cauchy (analisi matematica)|teorema di Cauchy]].

Sia <math>g(x) : x \mapsto x</math> la funzione identità. Applichiamo il teorema di Cauchy ad ''f''(''x'') e ''g''(''x''):

<math>\exists \ c \in (a, b) : \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

== Estensioni ==

=== Funzioni definite in Rⁿ ===

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in <math>\R^n</math>.

Sia <math>\, f</math> una funzione reale derivabile su un aperto <math>U \subseteq\R^n</math>, siano <math>\, \mathbf x, \mathbf y</math> due punti di <math>\,U </math> tali che il segmento <math>[\mathbf x, \mathbf y]=\{t \mathbf x + (1-t) \mathbf y : t \in [0,1]\} \subseteq U </math>

allora esiste <math>\, \mathbf \xi \in (\mathbf x, \mathbf y)</math> tale che

<math>f(\mathbf y)-f(\mathbf x) = Df(\mathbf \xi)(\mathbf y -\mathbf x)</math>

dove con <math> Df </math> indichiamo il [[differenziale]].

Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione

<math>\varphi(t)= f(\mathbf x + t(\mathbf y - \mathbf x))</math> con <math>t \in [0, 1]</math>

derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

=== Funzioni a valori su R^m ===

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in <math>\R^m</math>. Infatti sebbene applicabile ad ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente.

In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:

Sia <math>\, f</math> una funzione reale derivabile su un aperto <math>U \subseteq \R^n \rightarrow \R^m</math>, contenente il segmento <math>[\mathbf x, \mathbf y]</math>,

allora:

<math> \| f(\mathbf y)-f(\mathbf x) \| \leq \sup_{\mathbf{\mathbf \xi} \in U} \left \| Df(\mathbf \xi) \right \| \left \| \mathbf x - \mathbf y \right \|</math>

== Esempi di impiego (corollari) ==

=== Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervallo ===

''Ipotesi'':

:<math>f'(x)=0 \quad \forall x \in \left ( a,b \right )</math><br />

''Tesi'': <math>f(x)=k \quad k\in \mathbb{R} \quad \forall x \in \left ( a,b \right )</math><br />

''Dimostrazione'':<br />

Prendiamo due punti distinti, <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ]</math><br />

Applichiamo il teorema di Lagrange all'intervallo avente come estremi <math> \alpha, \beta </math><br /> ottenendo che <br />

<math>\exists c\in(a,b):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math><br />

Da questo si ricava, dall'ipotesi, che

<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=0 \Longrightarrow \ f(\beta )=f(\alpha)</math><br />.

=== Monotonia a partire dalla derivata ===

==== Derivata non negativa ====

Il ''teorema di Lagrange'' può essere utilizzato per dimostrare che tutte le funzioni derivabili, con derivata prima non negativa, sono [[Funzioni monotone|monotóne]] non decrescenti.

''Ipotesi'':

<math> f'(x) \ge \ 0 \quad \forall x \in \left [ a,b \right ]</math><br />

''Tesi'': ''f(x)'' crescente <math>\quad \forall x \in \left [ a,b \right ]</math><br />

''Dimostrazione'':<br />

Prendiamo due generici, ma diversi, punti <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ]</math><br />

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi vi è anche continua, allora possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi <math> \alpha, \beta </math><br /> ottenendo che <br />

<math>\exists c\in(a,b):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math><br />

Da questo si ricava, dall'ipotesi, che

<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \ge \ 0 </math><br />

A questo punto si presentano due casi:<br />

se <math> \alpha < \ \beta \Longrightarrow \ f \left ( \alpha \right ) \le \ f \left ( \beta \right ) </math><br />

se <math> \alpha \ > \beta \Longrightarrow \ f \left ( \alpha \right ) \ge \ f \left ( \beta \right ) </math><br />

Ma in entrambi i casi si deduce chiaramente che la funzione è crescente: e dal momento che i due punti erano stati scelti a caso, possiamo dire che la funzione è crescente in [''a'',''b''], c.v.d.

==== Derivata positiva ====

''Ipotesi'':

<math> f'(x) > \ 0 \quad \forall x \in \left [ a,b \right ]</math><br />

''Tesi'': ''f(x)'' strettamente crescente <math>\quad \forall x \in \left [ a,b \right ]</math><br />

''Dimostrazione'':<br />

Prendiamo due generici, ma diversi, punti <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ]</math><br />

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua in esso, allora possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi <math> \alpha, \beta </math><br /> ottenendo che <br />

<math>\exists c\in(a,b):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math><br />

Da questo si ricava, dato che l'ipotesi ci da informazioni sul segno della derivata in ogni punto, che

<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} > \ 0 </math><br />

A questo punto si presentano due casi distinti, a seconda dell'ordinamento tra i due punti su cui si è applicato Lagrange:<br />

se <math> \alpha < \ \beta \Longrightarrow \ f \left ( \alpha \right ) \ < f \left ( \beta \right ) </math><br />

se <math> \alpha \ > \beta \Longrightarrow \ f \left ( \alpha \right ) > \ f \left ( \beta \right ) </math><br />

Osservando entrambe le situazioni che scaturiscono è facile osservare come la funzione sia comunque sempre strettamente crescente; e poiché <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ] \quad </math> erano stati scelti arbitrariamente, ne consegue che la funzione è strettamente crescente in [''a'',''b''], e questo è quello che dovevamo dimostrare.

==== Derivata non positiva e derivata negativa ====

Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.

=== Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitata ===

''Ipotesi'':

<math> f'(x) \quad</math> è limitata su <math> \left [ a,b \right ]\quad</math> ovvero <math> \exists k \in \mathbb{R}, k > \ 0 : \left | f'(x) \right | \le \ k </math> <br />

''Tesi'': ''f(x)'' [[Condizione di Lipschitz|lipschitziana]] su <math>\quad \left [ a,b \right ]</math><br />

''Dimostrazione'':<br />

Consideriamo due generici e distinti punti <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ]</math><br />

Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, allora possiamo applicare Lagrange ad un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che <br />

<math>\exists c\in(a,b):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math><br />

Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:

<math> \left | \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \right | \le \ k </math><br />

Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione seguirà la condizione di Lipschitz, c.v.d.

== Voci correlate ==

* [[Derivata]]

{{analisi matematica}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]

[[Categoria:Calcolo differenziale]]

[[Categoria:Teoremi|Lagrange]]

[[ar:مبرهنة القيمة الوسطى]]

[[ca:Teorema del valor mitjà]]

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[[zh:中值定理]]