Larpanet

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== Metodi Iterativi ==

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== Metodi Iterativi ==

I metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari

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x^{(k)}=x_v \Leftrightarrow x^{(k)}=x^{(k+1)}

</math>

== Metodi iterativi convergenti e consistenti ==

Si pone il problema di <i>costruire</i> dei metodi iterativi per risolvere

<math>Ax=b</math> che siano consistenti e convergenti.

Ebbene, esiste una formula che, sotto opportune condizioni, permette di

costruire una <i>famiglia</i> di metodi iterativi. Questa formula (dovuta

a Wittmeyer) e' il paradigma dei metodi iterativi per risolvere sistemi

lineari.

La <i>formula-modello</i> in questione e' la seguente:

<math>

x^{(k+1)}= x^{(k)} + M (A x^{(k)} - b)

</math>

Per ogni scelta della matrice <math>M</math> o della matrice

<math>B:=I+MA</math> che e' detta <b>matrice di iterazione</b>,

si ottiene un particolare metodo iterativo.

Si puo' dimostrare che la formula:

<math>

x^{(k+1)}=x^{(k)}+M(Ax^{(k)}-b)

</math>

con l'ipotesi che <math>M</math> sia non singolare

(<math>\det(M)\neq 0</math>) <b>e</b> che il raggio spettrale di <math>B</math> sia strettamente minore di 1 (<math>\rho(B)<1</math>), fornisce

metodi iterativi convergenti e consistenti.

Piu' precisamente si dimostrano queste due proprieta' per una <i>qualsiasi</i> successione <math>x^{(k)}</math> generata dalla formula-modello:

<math>\det(M)\neq 0 \Leftrightarrow x^{(k)}</math> consistente esclusivamente

<math>\rho(B)<1 \Leftrightarrow \lim_{k\rightarrow\infty} x^{(k)}=x_v</math>