Differenze divise: differenze tra le versioni

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Dati <math>k+1</math>punti

: <math>(x_0, y_0),\ldots,(x_{k}, y_{k}).</math>

Definiamo le '''differenze divise''' come:

: <math>[y_\nu] := y_\nu, \qquad \nu \in \{ 0,\ldots,k\},</math>

: <math>[y_\nu,\ldots,y_{\nu+j}] := \frac{[y_{\nu+1},\ldots , y_{\nu+j}] - [y_{\nu},\ldots , y_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_\nu}, \qquad \nu\in\{0,\ldots,k-j\},\ j\in\{1,\ldots,k\}.</math>

Definiamo le '''differenze divise all'indietro''' come:

: <math>[y_\nu] := y_{\nu},\qquad \nu \in \{ 0,\ldots,k\}</math>

: <math>[y_\nu,\ldots,y_{\nu-j}] := \frac{[y_\nu,\ldots , y_{\nu-j+1}] - [y_{\nu-1},\ldots , y_{\nu-j}]}{x_\nu - x_{\nu-j}}, \qquad \nu\in\{j,\ldots,k\},\ j\in\{1,\ldots,k\}.</math>

dove <math>j</math> è l''''ordine''' della differenza divisa.

== Notazione, differenze divise sui punti di una funzione ==

Se i punti <math display="inline">\{x_0, x_1,\dots, x_k\}</math> vengono dati come valori di una funzione <math>f</math>,:

: <math>(x_0, f(x_0)),\ldots,(x_{k}, f(x_{k})),</math>

si può trovare la notazione

: <math>f[x_\nu] := f(x_{\nu}), \qquad \nu \in \{ 0,\ldots,k \},</math>

: <math>f[x_\nu,\ldots,x_{\nu+j}] := \frac{f[x_{\nu+1},\ldots , x_{\nu+j}] - f[x_\nu,\ldots , x_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_\nu}, \qquad \nu\in\{0,\ldots,k-j\},\ j\in\{1,\ldots,k\}.</math>

Altre scritture equivalenti sono:

: <math>[x_0,\ldots,x_n]f,;</math>

:<math>f_n[x_0,\ldots,x_n];</math>

: <math>[x_0,\ldots,x_n;f],;</math>

: <math>D[x_0,\ldots,x_n]f.</math>

== Rapporto con le derivate di <math>''f''(''x'')</math> ==

etc.

Quando due argomenti risultano coincidenti possiamo ugualmente dare un significato alla corrispondente differenza divisa di ordine <math>1</math>, purché <math>f'(x)</math> esista in quel punto<ref name=":0">{{Cita libro|cognome=Monegato, Giovanni.|titolo=Metodi e algoritmi per il calcolo numerico|url=https://www.worldcat.org/oclc/956017867|accesso=2019-04-29|data=[2008]|editore=Clut|OCLC=956017867|ISBN=9788879922654}}</ref>:

:<math>f[x_0,x_0] = \lim_{x\to x_0} f[x_0,x] = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0).</math>

== Rapporto con le derivate di <math>f(x)</math> ==

Quando due argomenti risultano coincidenti possiamo ugualmente dare un significato alla corrispondente differenza divisa di ordine <math>1</math>, purché <math>f'(x)</math>esista in quel punto<ref name=":0">{{Cita libro|cognome=Monegato, Giovanni.|titolo=Metodi e algoritmi per il calcolo numerico|url=https://www.worldcat.org/oclc/956017867|accesso=2019-04-29|data=[2008]|editore=Clut|OCLC=956017867|ISBN=9788879922654}}</ref>:

<math>f[x_0,x_0] = \lim_{x\to x_0} f[x_0,x] = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)</math>

Più in generale, definiamo

:<math>f[\underbrace{x_0,x_0,\dots,x_0}_{k+1}] = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},</math>

la cui esistenza è dimostrabile<ref>{{Cita libro|cognome=Isaacson, Eugene.|titolo=Analysis of numerical methods|url=https://www.worldcat.org/oclc/30032279|accesso=2019-04-29|data=1994|editore=Dover Publications|p=252|OCLC=30032279|ISBN=0486680290}}</ref>.

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Differenze divise per <math>\nu=0</math> e i primi valori di <math>j</math>:

: <math>\begin{aligned}

\mathopen[y_0] &= y_0; \\

\begin{align}

\mathopen[y_0,y_1] &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}; \\

\mathopen[y_0,y_1,y_2] &= \frac{[y_1,y_2]-[y_0,y_1]}{x_2-x_0} = \frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0} = \frac{y_2-y_1}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}-\frac{y_1-y_0}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)}; \\

\mathopen[y_0,y_1,y_2,y_3] &= \mathopenfrac{[y_1,y_2,y_3]-[y_0,y_1,y_2]}{x_3-x_0}.

\end{aligned}</math><!-- the \mathopen command is there because latex otherwise thinks that [...] denotes an optional argument -->

&= \frac{\mathopen[y_1,y_2]-\mathopen[y_0,y_1]}{x_2-x_0}

= \frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}

= \frac{y_2-y_1}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}-\frac{y_1-y_0}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)}

\\

\mathopen[y_0,y_1,y_2,y_3] &= \frac{\mathopen[y_1,y_2,y_3]-\mathopen[y_0,y_1,y_2]}{x_3-x_0}

\end{align}

</math><!-- the \mathopen command is there because latex otherwise thinks that [...] denotes an optional argument -->

Per evidenziare il processo ricorsivo, le differenze divise possono essere messe in forma tabellare

: <math>

\begin{matrix}

x_0 & y_0 = [y_0] & & & \\

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=== Rapporto incrementale ===

{{vedi anche|Rapporto incrementale}}

Data una funzione <math>f</math>, presi due punti <math>(x_0, f(x_0)),(x_1, f(x_1))</math>, la differenza divisa di ordine '''<math display="inline">1</math>''':

:<math>A_1 = f[x_0,x_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \frac{\Delta f}{\Delta x}</math>

<math>

A_1 = f[x_0,x_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \frac{\Delta f}{\Delta x}

</math>

è il [[rapporto incrementale]] costruito su due punti per la quantità <math>h = x_1 - x_0</math>.

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== Invarianza per permutazione ==

{{vedi anche|Funzione simmetrica}}

Per induzione matematica, non è difficile dimostrare che

<math>

f[x_0,x_1,\dots, x_n] =

\sum_{k=0}^n{

\frac{f(x_k)}{\prod_{{j=0,\ j \neq k}}^n{(x_k-x_j)}}

}

:<math>f[x_0,x_1,\dots, x_n] =\sum_{k=0}^n{\frac{f(x_k)}{\prod_{{j=0,\ j \neq k}}^n{(x_k-x_j)}}}.</math>

</math>

Questa espressione ci permette di affermare che <math display="inline">f[x_0,x_1,\dots, x_n]</math> è una funzione '''[[Funzione simmetrica|invariante a permutazione]]''' dei suoi argomenti, cioè

:<math>f[x_0,x_1,\dots, x_n] = f[x_{i_0},x_{i_1},\dots, x_{i_n}],</math>

<math>

f[x_0,x_1,\dots, x_n] = f[x_{i_0},x_{i_1},\dots, x_{i_n}]

</math>

dove <math display="inline">(i_0,i_1,\dots, i_n)</math> denota una qualsiasi [[permutazione]] di <math display="inline">(0, 1, \dots, n)</math><ref name=":0" />.