Problema ben posto: differenze tra le versioni

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I problemi che non rispettano le condizioni di Hadamard sono definiti '''mal posti''', come spesso accade ai [[Problema inverso|problemi inversi]], infatti, ad esempio, l'inversa dell'equazione del calore, che deduce una precedente distribuzione della temperatura dai dati finali, non è ben posta in quanto la soluzione è altamente sensibile ai cambiamenti nei dati finali.

Problemi possono sorgere anche in problemi ben posti nel caso sia necessario [[Discretizzazione|discretizzare]] un modello continuo per poterlo elaborare in forma numerica ([[Simulazione numerica|mediante computer]]). Infatti, sebbene le soluzioni possano essere continue rispetto alle condizioni iniziali, potrebbero soffrire di [[Stabilità numerica|instabilità numerica]] se risolte con [[precisione]] finita o con [[Errore (filosofia)|errori]] nei dati. Inoltre, anche se un problema è ben posto, può comunque essere '''mal [[Condizionamento (matematica)|condizionato]]''', che significa che un piccolo errore nei dati iniziali può causare errori molto più grandi nelle risposte, come accade nei [[Sistema complesso|sistemi complessi]] non lineari (i cosiddetti sistemi [[Teoria del caos|caotici]]).

Se il problema è ben posto, allora ha buone possibilità di essere risolto mediante un computer utilizzando un [[Stabilità numerica|algoritmo stabile]]. Se non è ben posto, deve essere riformulato per essere trattato numericamente. In genere ciò comporta l'inclusione di ipotesi aggiuntive, come la fluidità della soluzione, processo noto come ''[[Regolarizzazione (matematica)|regolarizzazione]]''. La [[regolarizzazione di Tikhonov]] è una delle più utilizzate nel caso di problemi lineari mal posti.

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Un metodo per determinare se un problema è ben posto si basa sulla derivazione di una stima del valore dell'[[energia]] associata a un dato problema.

'''Esempio''' : Si consideri l'equazione di [[avvezione]] lineare con [[condizioni al contorno di Dirichlet]] omogenee e propri dati iniziali <math>f(x)</math>:

:<math>

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</math>

In base al metodo dell'energia, si moltiplichamoltiplica l'equazione per <math>u</math> e si integra lungo lo spazio nell'intervallo dato:

:<math>\partial_t\int_0^1\frac{u^2}{2}dx=-\alpha\int_0^1uu_xdx\Rightarrow \frac{1}{2}\partial_t\|u\|_2^2=-\alpha\frac{u^2}{2}\Big|_0^1=0.</math>

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== Bibliografia ==

*{{Cita libro|titolo=McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms|url=https://archive.org/details/mcgrawhilldicti00park|edizione=4|annooriginale=1974|anno=1989|editore=McGraw-Hill|città=New York|isbn=0-07-045270-9}}

*{{Cita libro|nome=A. N.|cognome=Tikhonov|nome2=V. Y.|cognome2=Arsenin|titolo=Solutions of ill-Posed Problems|url=https://archive.org/details/solutionsofillpo0000tikh|editore=Winston|città=New York|anno=1977|isbn=0-470-99124-0}}

== Voci correlate ==