Prodotto notevole: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], un '''prodotto notevole'''<ref name=":0">{{Cita web|lingua=it-it|autore=Fulvio Sbranchella|url=https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/270-prodotti-notevoli.html|titolo=Prodotti notevoli: formule, schema, esempi e dimostrazioni|sito=YouMath|data=2011-10-04|accesso=2025-07-12}}</ref> è un'[[identità (matematica)|identità]] che compare spesso nel [[calcolo letterale]], in particolare per effettuare il prodotto di [[polinomio|polinomi]] di forme particolari. I prodotti notevoli consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all'applicazione diretta delle regole del calcolo letterale (come la [[moltiplicazione]] di due [[polinomio|polinomi]]). Inoltre, riconoscere un prodotto notevole è utile per la [[scomposizione in fattori]] dei polinomi o di altre [[Espressione matematica|espressioni algebriche.]]<ref name=":0" />

{{Calcolo letterale}}

In [[matematica]], un '''prodotto notevole'''<ref name=":0">{{Cita web|url=https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/270-prodotti-notevoli.html|titolo=}}</ref> è un'[[identità (matematica)|identità]] che compare spesso nel [[calcolo letterale]], in particolare per effettuare il prodotto di [[polinomio|polinomi]] di forme particolari. I prodotti notevoli consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all'applicazione diretta delle regole del calcolo letterale (come la [[moltiplicazione]] di due [[polinomio|polinomi]]). Inoltre, riconoscere un prodotto notevole è utile per la [[scomposizione in fattori]] dei polinomi o di altre [[Espressione matematica|espressioni algebriche.]]<ref name=":0" />

== Quadrato di un binomio e quadrato di un trinomio ==

Il [[Quadrato (algebra)|quadrato]] di un [[binomio]] generico o più generalmente dalla [[somma algebrica]] di due termini <math>(A + B)</math> può essere espresso come<ref name="ref_A">{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.15</ref><ref>{{Cita web|lingua=it-it|autore=Fulvio Sbranchella|url=https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/950-quadrato-del-binomio.html|titolo=Quadrato di binomio con segno più o meno: regola ed esempi|sito=YouMath|data=2013-06-12|accesso=2025-07-12}}</ref>:

:<math>(A + B)^2 = (A + B) (A + B) = A^2 + AB + B^2 + AB = A^2 + 2AB + B^2.</math>

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:''Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini più il doppio prodotto di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono.''

== Altri quadrati di Polinomi ==

=== Il quadrato di un quadrinomio ===

Il quadrato di un quadrinomio, ovvero un polinomio a 4 termini, può essere espresso come;

<math>(a+b+c+d)^2=(a+b+c+d)(a+b+c+d)=</math>

<math>=a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+ab+bc+bd+ac+bc+cd+ad+bd+cd=

</math>

<math>=(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd)</math>

== Cubo di un binomio ==

Il cubo di un binomio può essere espresso come<ref name="ref_A" /><ref>{{Cita web|lingua=it-it|autore=Fulvio Sbranchella|url=https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/951-cubo-di-binomio.html|titolo=Cubo di binomio: sviluppo, scomposizione ed esempi|sito=YouMath|data=2013-06-12|accesso=2025-07-12}}</ref>:

:<math>(x + y)^3 = (x + y)^2 (x + y) = x^3 + x^2y + 2xy^2 + 2x^2y + xy^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.</math>

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== Somma e differenza tra potenze dello stesso grado ==

La precedente formula, che riguarda un binomio di terzo grado, può essere generalizzata con le seguenti riduzioni nel [[Numero algebrico#Il campo dei numeri algebrici|campo dei numeri algebrici]], dimostrabili passando attraverso le radici complesse coniugate di <math> f(x) = x^n \pm y^n</math>.<ref>{{Cita web|url=https://docs.google.com/file/d/0B3keY4mwHh9kcmMxcFNVUjZfemgxWTZVeDJMMkpkWXdPLVZZ/edit?usp=docslist_api&usp=embed_facebook|titolo=La Scomposizione Ciclotomica di a^n±b^n.pdf|sito=Google Docs|accesso=2025-07-12|pp=20-25}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://docs.google.com/file/d/0B3keY4mwHh9kOUl6QjBOVjlac2dWaEZwM1JXeDcxV0w1M0hJ/edit?usp=docslist_api&usp=embed_facebook|titolo=Cyclotomic Factorization of a^n±b^n.pdf|sito=Google Docs|accesso=2025-07-12}}</ref>

''[https://docs.google.com/file/d/0B3keY4mwHh9kcmMxcFNVUjZfemgxWTZVeDJMMkpkWXdPLVZZ/edit?usp=docslist_api La Scomposizione Ciclotomica di <math>\mathit{\color{Blue}{a^n \pm b^n}}</math>]'', ''[https://docs.google.com/file/d/0B3keY4mwHh9kOUl6QjBOVjlac2dWaEZwM1JXeDcxV0w1M0hJ/edit?usp=docslist_api The Cyclotomic Factorization of <math>\mathit{\color{Blue}{a^n \pm b^n}}</math>]'', pagg. 20-25</ref>

Un binomio formato dalla somma di due potenze di egual grado pari può essere scritto come:

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== Bibliografia ==

* {{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume |volume=3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}}

== Collegamenti esterni ==

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* {{cita web|http://rubiconrivergame.com/prodotti-notevoli-scomposizione-polinomi|Spiegazione del significato geometrico dei prodotti notevoli}}

{{Calcolo letterale}}

{{Portale|matematica}}