Numerosità: differenze tra le versioni

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La teoria delle '''numerosità''' per insiemi infiniti è unstata concettointrodotta chedal sviluppamatematico laitaliano [[Vieri Benci]] nel 1995, e successivamente sviluppata insieme ai suoi collaboratori Mauro Di Nasso e Marco Forti, come raffinamento della nozione di [[cardinalità]] diintrodotta da [[Georg Cantor]]. Mentre la cardinalità classica di Cantor classifica gli insiemi in base all’esistenza di una [[corrispondenza biunivoca]] con altri insiemi (definendo per esempio <math>\aleph_0</math> per i numerabili, <math>\aleph_1</math> e così via per gli infiniti di maggior “taglia”), l’idea di numerosità mira a fornire un punto di vista diverso, collegandosi alla V nozione comune di Euclide "L'intero è maggiore della parte". TuttoQuesta cio'impostazione porta in modo naturale aia considerare come numerosità i numeri ipernaturali dell'analisi non standard.<ref>{{Cita web|lingua=en|url=https://plato.stanford.edu/entrieS/infinity/numerosities.html|titolo=InfinityTheories of Numerosities (Stanford Encyclopedia of Philosophy)| Theories of Numerosities (Stanford Encyclopedia of Philosophy)|sito=plato.stanford.edu|accesso=2025-01-15}}</ref>

La '''numerosità''' di un insieme infinito, così come introdotta dal matematico italiano [[Vieri Benci]] e alcuni collaboratori,

è un concetto che sviluppa la nozione di [[cardinalità]] di Cantor. Mentre la cardinalità classica di Cantor classifica gli insiemi in base all’esistenza di una [[corrispondenza biunivoca]] con altri insiemi (definendo per esempio <math>\aleph_0</math> per i numerabili, <math>\aleph_1</math> e così via per gli infiniti di maggior “taglia”), l’idea di numerosità mira a fornire un punto di vista diverso, collegandosi alla V nozione comune di Euclide "L'intero è maggiore della parte". Tutto cio' porta in modo naturale ai numeri ipernaturali.<ref>{{Cita web|lingua=en|url=https://plato.stanford.edu/entrieS/infinity/numerosities.html|titolo=Infinity | Theories of Numerosities (Stanford Encyclopedia of Philosophy)|sito=plato.stanford.edu|accesso=2025-01-15}}</ref>

In breve, Bencinella eteoria idelle suoinumerosità collaboratorisi propongonoassocia diad associare a unogni insieme infinito un valore numerico che rispecchi la sua “quantità di elementi” in modo più diretto, senza fare ricorso unicamente alle corrispondenze biunivoche<ref name="Benci0">Benci, V. (1995). "I Numeri e gli Insiemi Etichettati", Laterza, Bari, Italia. Conferenze del seminario di matematica dell'Università di Bari, vol. 261, pp. 29</ref><ref name="Benci1">Benci, V.; Di Nasso, M. (2003). "Numerosity of labelled sets: a new way of counting". ''Advances in Mathematics'' 173: 50–67</ref><ref name="Benci2">Benci, V.; Di Nasso, M.; Forti, M. (2006). "An Aristotelian notion of size". ''Annals of Pure and Applied Logic'' 143:1–3, 43–53</ref><ref name="Benci2Benci3">Benci, V.; Di Nasso, M.; Forti, M. (20032007). "Alpha-theory:An aneuclidean elementarymeasure axiomaticof size for nonstandardmathematical analysisuniverses". ''ExpositionesLogique Mathematicae& Analyse'' 21197: 355–38643–62</ref><ref name="Benci3DiNasso_Forti_2010">Di Nasso, M; Forti, M. (2010). "Numerosities of point sets over the real line". ''Transactions of the American Mathematical Society'' 362:10, 5355–5371</ref><ref name="Benci4">Benci, V.; Di Nasso, M. (2019). "How to measure the infinite", World Scientific, Hackensack, NJ (la parte 5 del libro è interamente dedicata alla "Numerosity Theory")</ref>. Questo approccio utilizza strumenti di logica e analisi, cercando di dare un significato operativo alla nozione di “contare” anche quando si hanno insiemi infiniti. La numerosità si rivela così utile per lo studio di alcuni problemi di matematica discreta ed è oggetto di ricerche nell’ambito delle teorie alternative (o complementari) alla cardinalità cantoriana tradizionale.

== Principali assiomi ==

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* Una mappa suriettiva <math>\mathrm{num}</math> che associa a ogni insieme il suo valore di numerosità, obbedendo a quattro principi fondamentali:

# '''Principio dell'unione''' (principio di unione): se <math>\mathrm{num}(A)=\mathrm{num}(A')</math> e <math>\mathrm{num}(B)=\mathrm{num}(B')</math> e i domini di <math>A</math> e <math>B</math> (così come di <math>A'</math> e <math>B'</math>) sono disgiunti, allora <math>\mathrm{num}(A \sqcupcup B)=\mathrm{num}(A' \sqcupcup B')</math>.

# '''Principio del prodotto Cartesiano''': se <math>\mathrm{num}(A)=\mathrm{num}(A')</math> e <math>\mathrm{num}(B)=\mathrm{num}(B')</math>, allora <math>\mathrm{num}(A \times B)=\mathrm{num}(A' \times B')</math>.

<!-- PRINCIPIO_DI_ZERMELO_VERSIONE_DIFFICILE_DA_OTTENERE: QUESTA E' UNA VERSIONE PIU' COMPLESSA DA OTTENERE

# '''Principio di Zermelo''': se <math>\mathrm{num}(A) < \mathrm{num}(B)</math>, allora esiste un sottoinsieme proprio <math>A' \subset B</math> con <math>\mathrm{num}(A') = \mathrm{num}(A)</math>. -->

<!-- PRINCIPIO_DI_ZERMELO_VERSIONE_PIU'_FACILE_DA_OTTENERE -->

# '''Principio di Zermelo''': se <math>\mathrm{num}(A) < \mathrm{num}(B)</math>, allora esiste un soprainsieme proprio <math>B' \supset A</math> con <math>\mathrm{num}(B') = \mathrm{num}(B)</math>.

# '''Principio asintotico''': se per tutti <math>n</math> la funzione di conteggio di <math>A</math> è minore o uguale a quella di <math>B</math>, allora <math>\mathrm{num}(A) \le \mathrm{num}(B)</math>.

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== Esempi: insiemi infiniti numerabili ==

Un classico esempio è l’insieme dei numeri naturali positivi <math>\mathbb{N^+}</math>, che in questo approccio viene associato a un “numero infinito”, spesso indicato con <math>\alpha</math><ref name="Benci5">Benci, V.; InDi particolareNasso, M. (2003). "Alpha-theory: an elementary axiomatic for nonstandard analysis". ''Expositiones Mathematicae'' 21: 355–386</ref>:

:<math>\mathrm{num}(\mathbb{N^+}) = \alpha.</math>

Se si considera ora l’insieme dei numeri pari, nella teoria di Cantor quest’insieme èha equipotentela astessa cardinalità di <math>\mathbb{N}</math>, ma nella numerosità di Benci e collaboratori esso ha valore <math>\alpha/2</math>, in modo che risulti “la metà” dei naturali (e si conserva il principio: l’insieme dei pari è sottoinsieme proprio di <math>\mathbb{N}</math>, quindi deve avere numerosità minore).

Naturalmente, <math>\alpha/2</math> non è un [[numero reale]] standard ma un elemento di un insieme non-Archimedeo archimedeo che estende i naturali.

Con considerazioni analoghe si ottiene<ref name=Benci4 /><ref name=LuperiBaglini2024> Benci, V; Luperi Baglini, L. (2024) "Euclidean Numbers and Numerosities". ''The Journal of Symbolic Logic''. 89(1):112-146. doi:10.1017/jsl.2022.17</ref>:

== Collegamento con l'analisi non-standard ==

Le idee alla base della numerosità si collegano anche all’[[analisi non standard]] di Robinson: si ottengono sistemi numerici che includono infiniti e infinitesimi “coerenti” con operazioni di somma e prodotto. L’infinito <math>\alpha</math> che esprime la numerosità di <math>\mathbb{N}</math> può essere trattato come un elemento non-standard, successivo a tutti i numeri finiti, permettendo dimostrazioni e metodi tipici dell’analisi non-Archimedea.

:<math>\mathrm{num}(\mathbb{Z}) = 2\alpha + 1</math>

:<math>\mathrm{num}(\mathbb{Q^+}) = \alpha^2</math>

:<math>\mathrm{num}(\mathbb{Q}) = 2\alpha^2 + 1</math>

== Collegamento con l'analisi non- standard ==

Le idee alla base della numerosità si collegano anche all’[[analisi non standard]] di Robinson: si ottengono sistemi numerici che includono infiniti e infinitesimi “coerenti” con operazioni di somma e prodotto. L’infinito <math>\alpha</math> che esprime la numerosità di <math>\mathbb{N}</math> può essere trattato come un elementonumero ipernaturale non- standard, successivo a tutti i numeri finiti, permettendoe consente di utilizzare dimostrazioni e metodi tipici dell’analisi non-Archimedea archimedea.

== Applicazioni e ricerche in corso ==

La ricerca sulla numerosità è stata applicata o discussa in:

* Classificazioni alternative delle dimensioni degli insiemi in alcuni contesti discreti o combinatori.

* Esplorazione rigorosa delle proprietà simili alle misure, a cavallo tra la teoria delle misure e l'aritmetica cardinale.<ref name="Benci_Bottazzi_Di_Nasso_2015">Benci, V.; Bottazzi, E.; Di Nasso, M. (2015). "Some applications of numerosities in measure theory". ''Rend. Lincei Mat. Appl. 26:37-47</ref>

* Indagini sui [[fondamenti della matematica]], in particolare sulla natura dell'infinito.

* Probabilità e filosofia della scienza <ref name="Benci4Benci6">Benci, V.; Horsten L.; Wenmackers S. (2018). "Infinitesimal Probabilities". ''The British Journal for the Philosophy of Science 69:2 509–552. </ref>.

Nonostante sia relativamente di nicchia, la teoria continua a essere studiata ed estesa da un piccolo gruppo di matematici interessati a questioni fondazionali o a creare un ponte tra intuizioni finite e contesti infiniti.

== Ulteriori letture ==

Paolo Mancosu ha ricostruito dal punto di vista storico e filosofico la nascita delle teorie delle numerosità.<ref name="Mancosu1">Mancosu, P. (2016). "Abstraction and Infinity", Oxford University Press, Oxford</ref> In particolare, i capitoli 3 e 4 del libro citato sono dedicati alla dimensione degli insiemi infiniti. In quel libro, è riuscito a risalire ai primi studi sulla dimensione degli insiemi infiniti (partendo dall'approccio di Cantor) nella tesi di dottorato di Fredic M. Katz.<ref>Katz, F. M., 1981, "Sets and their Sizes", Ph.D. Dissertation, M.I.T., https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/15838 </ref>

== Voci correlate ==

* [[Numero cardinale]]

* [[Elementi (Euclide)]]

* [[Cardinalità]]

* [[Numero cardinale]]

* [[Numero ordinale (teoria degli insiemi)]]

* [[Analisi non standard]]

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* [[Numero surreale]]

== Note ==

<references/>

== Collegamenti esterni ==

* https://www.youtube.com/watch?v=QJuuKQBhenY

* https://events.dm.unipi.it/event/151/contributions/336/attachments/77/101/Benci.pdf

* https://events.dm.unipi.it/event/151/contributions/337/attachments/78/102/Forti.pdf

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