Funzione lineare: differenze tra le versioni

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[[File:FuncionLineal02.svg|miniatura|upright=1.4|Esempio di funzioni lineari]]

[. Ad esempio per

In [[matematica]], per '''funzione lineare''' si intende:

funzione lineare di due variabili reali ''x'' e ''y'' a valori reali si intende una funzione della forma

* Nel [[calcolo infinitesimale]], una [[polinomio|funzione polinomiale]] di grado zero o uno.<ref>Stewart 2012, p. 23</ref>

* In [[algebra lineare]] e [[analisi funzionale]], una [[trasformazione lineare]].<ref>Shores 2007, p. 71</ref>

== Funzione polinomiale ==

: ''f''(''x'',''y'') = ''m'' ''x'' + ''n'' ''y'' + ''c'' ;

Quando si introduce il [[calcolo infinitesimale]] e quando si trattano le [[polinomio|funzioni polinomiali]], in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale <math>x</math> a valori reali della forma:

:<math>f(x) = mx+c,</math>

essa nello spazio tridimensionale riferito ad una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come

piano che interseca l'asse verticale ''Oz'' nel punto (0, 0, ''c''), l'asse ''Ox'' in (-''c''/''m'', 0, 0),

o all'infinito se ''m'' = 0, e l'asse ''Oy'' in (0, -''c''/''n'', 0), o all'infinito se ''n'' = 0.

con <math>m</math> e <math>c</math> costanti reali. Se <math>m>0,</math> la funzione è strettamente crescente; se <math>m<0,</math> la funzione è strettamente decrescente. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione:

== Relazione con la definizione di applicazione lineare ==

:<math>y=mx+c.</math>

Dato che in considerazioni generali il termine ''funzione'' viene considerato sinonimo di ''applicazione'' e di ''trasformazione'', le precedenti definizioni sono in disaccordo con la definizione di [[trasformazione lineare]], ovvero di applicazione lineare, che viene data in generale e in particolare in [[algebra]].

In generale per '''applicazione lineare''' si intende una [[funzione (matematica)|funzione]] che soddisfa le seguenti 2 proprietà:

La costante <math>m</math> viene detta [[coefficiente angolare]], [[pendenza (matematica)|pendenza]] o [[gradiente]], invece <math>c</math> è chiamata [[intercetta]] con l'asse delle <math>y</math>. In effetti la retta interseca l'asse <math>Oy</math> nel punto <math>(0,c)</math>; la retta inoltre interseca l'asse <math>Ox</math> nel punto <math>(-\tfrac{c}{m},0)</math>, come si ricava imponendo <math>y=0</math> e risolvendo la equazione <math>0 = m x + c</math>; quando però <math>m=0</math> la retta è orizzontale e si può dire che "incontra" l'asse <math>Ox</math> solo all'infinito (per formalizzare opportunamente questa idea è necessario introdurre il [[piano proiettivo]]).

* Additività: ''f''(''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')&nbsp;=&nbsp;''f''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''f''(''y'').

* Omogeneità: ''f''(&alpha;''x'')&nbsp;=&nbsp;&alpha;''f''(''x'') per ogni &alpha;.

=== Esempi ===

Equivalentemente si può chiedere che sia

:<math> \begin{align}

f(x) &= 2x + 1, \qquad & &(m=2; \ c=1); \\

f(x) &= x, \qquad & &(m=1; \ c=0); \\

f(x) &= 9, \qquad & &(m=0; \ c=9); \\

f(x) &= -3x + 4, \qquad & &(m=-3; \ c=4).

\end{align}</math>

Si osserva che al crescere di <math>m</math> a partire da 0, la retta da orizzontale ruota in senso antiorario aumentando la propria pendenza, invece facendo assumere a <math>m</math> valori negativi la retta ruota in senso orario. Cambiando la costante <math>c</math> la retta trasla verso l'alto o verso il basso, rispettivamente all'aumentare oppure al diminuire di <math>c</math> partendo da 0.

:<math> f(a_1x_1+a_2x_2) \,=\, a_1 f(x_1) + a_2 f(x_2)</math> .

<!-- qui auspicabili figure e animazioni -->

=== Generalizzazioni ===

In questa definizione ''x'', ''y'', ''x''₁ e ''x''₂ sono elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un [[campo (matematica)|campo]] ''K'' o anche elementi arbitrari di un [[modulo (struttura)]] su un [[anello commutativo]] ''R'', mentre ''a'', ''a''₁ e ''a''₂ sono elementi arbitrari di ''K'' ovvero di ''R''; la funzione ''f'' a sua volta ha come [[codominio]] uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come <math>\R, \mathbb{C}, \R^n, \mathbb{C}^n</math>.

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali <math>x</math> e <math>y</math> a valori reali si intende una funzione della forma:

:<math>f(x,y) = mx + ny + c.</math>

Ora per la funzione considerata inizialmente <math>f(x)\,=\,mx+c</math> i due membri dell'uguaglianza sono

Essa nello spazio tridimensionale riferito a una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale <math>Oz</math> nel punto <math>(0, 0, c)</math>, l'asse <math>Ox</math> in <math>(-\tfrac{c}{m}, 0, 0)</math>, o all'infinito se <math>m=0,</math> e l'asse <math>Oy</math> in <math>(0, -\tfrac{c}{n}, 0)</math>, o all'infinito se <math>n=0</math>.

:<math> m(a_1x_1+a_2x_2)+c ~~~\mbox{e}~~~ a_1(mx_1+c) + a_2(mx_2+c)</math> ,

== Trasformazione lineare ==

e questi sono uguali solo se ''c'' = 0.

{{vedi anche|Trasformazione lineare}}

Per trasformazione lineare (o applicazione lineare), solitamente definita in uno [[spazio vettoriale]] <math>V</math> su un [[campo (matematica)|campo]] <math>K</math>, si intende una [[funzione (matematica)|funzione]] che soddisfa le due proprietà:

:<math>f(x + y) = f(x) + f(y), \qquad \forall x,y \in V,</math>

Dunque il termine ''funzione lineare'' viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine [[funzione affine]], ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

:<math>f(ax) = af(x), \qquad \forall a \in K, \quad \forall x \in V,</math>

rispettivamente di additività e omogeneità.

[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]

[[Categoria:Polinomi]]

Equivalentemente si può chiedere che:

<!-- [[Categoria:Termini matematici con significati discrepanti]] -->

:<math> f(a_1x_1+a_2x_2) = a_1 f(x_1) + a_2 f(x_2), \qquad \forall x_1, x_2 \in V, \quad \forall a_1, a_2 \in K.</math>

In questa definizione <math>x</math>, <math>y</math>, <math>x_1</math> e <math>x_2</math> possono essere elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo <math>K</math> o anche elementi arbitrari di un [[modulo (algebra)|modulo]] su un [[anello commutativo]] <math>R</math>. La funzione <math>f</math> a sua volta ha come [[codominio]] uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come <math>\R</math>, <math>\mathbb{C}</math>, <math>\R^n</math>, <math>\mathbb{C}^n</math>.

Per la funzione considerata inizialmente

:<math>f(x)=mx+c</math>

i due membri dell'uguaglianza sono

:<math> m(a_1x_1+a_2x_2)+c \qquad \text{e} \qquad a_1(mx_1+c) + a_2(mx_2+c)</math>

e questi sono uguali se e solo se <math>c = 0</math>.

Dunque il termine "funzione lineare" viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine [[funzione affine]], ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

=== Esempi ===

:<math> \begin{align}

f(x) &= x; \\

f(x) &= -5x; \\

f(x) &= (4x,0,-x); \\

f(x,y) &= 3x+7y; \\

f(x,y) &= (x-4y,2x,9x+2y).

\end{align}</math>

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{en}} Izrail Moiseevich Gelfand (1961), ''Lectures on Linear Algebra'', Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6

* {{en}} Thomas S. Shores (2007), ''Applied Linear Algebra and Matrix Analysis'', Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6

* {{en}} James Stewart (2012), ''Calculus: Early Transcendentals'', edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9

* {{en}} Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., ''Handbook of Linear Algebra'', Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6

== Voci correlate ==

* [[Trasformazione lineare]]

* [[Operatore lineare continuo]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{springerEOM|titolo=Linear function|autore= L.D. Kudryavtsev }}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Funzioni polinomiali|Lineare]]

[[als:Lineare Funktion]]

[[bg:Линейна функция]]

[[ca:Funció lineal]]

[[cs:Lineární funkce]]

[[de:Lineare Funktion]]

[[en:Linear function]]

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[[he:פונקציה לינארית]]

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[[pt:Função linear]]

[[ru:Линейная функция]]

[[sk:Lineárna funkcia]]

[[sl:Linearna funkcija]]

[[sr:Линеарна функција]]

[[th:ฟังก์ชันเส้นตรง]]

[[uk:Лінійна функція]]

[[zh:線性函數]]