Utente:Andrea And/Sandbox/3: differenze tra le versioni

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{| class="wikitable"

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! Descrizione || Figura || Momento di inerzia || Commento

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|align="center"|

| <math> I = m r^2</math>

|— Un massa puntiforme non ha momento di inerzia intorno al proprio asse, ma usando il Parallel[[Teorema axisdi theoremHuygens-Steiner|teorema degli assi paralleli]] si ottiene un momento di inerzia intorno a un asse di rotazione distante.<!-- ###### a moment of inertia around a distant axis of rotation is achieved. ##### -->

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| Due masse puntiformi, ''M'' e ''m'', con [[massa ridotta]] ''<math> \mu </math>'' e separatoseparate da una distanza, ''x''.

|align="center"|

| <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2 </math>

|—

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| [[RodAsta (geometry)|Rod]] ofdi lengthlunghezza ''L'' ande massmassa ''m'' <br>(Axisasse ofdi rotationrotazione atalla thefine end of the roddell'asta)

| align="center"|[[Image:moment of inertia rod end.png]]

| <math>I_{\mathrm{endestrem.}} = \frac{m L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway"/>

| ThisQuesta expressionespressione assumesassume thatche thel'asta rodsia isun anfilo infinitelyinfinitamente thinsottile (butma rigid) wirerigido. ThisQuesto isè alsoanche aun specialcaso caseparticolare ofdella thepiastra thinrettangolare rectangularcon plateasse withdi axisrotazione ofalla rotationfine atdella thepiastra, end of the plate,e withcon ''h'' = ''L'' ande ''w'' = ''0''.

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| [[RodAsta (geometry)|Rod]]di of lengthlunghezza ''L'' ande massmassa ''m''

| align="center"|[[Image:moment of inertia rod center.png]]

| <math>I_{\mathrm{centercentrale}} = \frac{m L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway"/>

| ThisQuesta expressionespressione assumesassume thatche thel'asta rodsia isun anfilo infinitelyinfinitamente thinsottile (butma rigid) wirerigido.Questo è This is a special case ofanche theun thincaso rectangularparticolare platedella withpiastra axisrettangolare ofcon rotationasse atdi therotazione centeral ofcentro thedella platepiastra, withcon ''w'' = ''L'' ande ''h'' = ''0''.

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| ThinCerchio circularsottile [[hoop]]di of radiusraggio ''r'' ande massmassa ''m''

| align="center"|[[Image:moment of inertia hoop.svg|170px]]

| <math>I_z = m r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!</math>

| ThisQuesto isè aun specialcaso caseparticolare ofsia adel [[torusToro (geometria)|toro]] forper ''b'' = 0. (Seevedi più in below.basso), asche welldel astubo ofcilindrico acon thick-walledpareti cylindricalspesse tubeed withestremità open endsaperte, withcon ''r''₁=''r''₂ ande ''h'' = 0.

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| Thin, solid [[disk (mathematics)|diskDisco]] ofsolido e sottile, di radiusraggio ''r'' ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:moment of inertia disc.svg|170px]]

| <math>I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!</math>

| ThisQuesto isè aun specialcaso caseparticolare ofdel thecilindro solid cylindersolido, withcon ''h'' = 0.

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| ThinSuperficie [[cylindercilindrica (geometry)|cylindrical]]sottile shellcon withestremità open endsaperte, ofdi radiusraggio ''r'' ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:moment of inertia thin cylinder.png]]

| <math>I = m r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway">{{citecita booklibro

|titletitolo=Physics for Scientists ande Engineers, second ed.

|authorautore=Raymond A. Serway

|pagepagina=202

|publishereditore=Saunders College Publishing

|isbn=0-03-004534-7

|yearanno=1986

}}</ref>

| Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). E' un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e ''r''₁=''r''₂.

| This expression assumes the shell thickness is negligible. It is a special case of the thick-walled cylindrical tube for ''r''₁=''r₂.

Also,Anche auna pointmassa masspuntiforme (''m'') atalla thefine enddi of a rodun'asta ofdi lengthlunghezza ''r'' hasha thislo samestesso momentmomento ofdi inertiainerzia, ande theil valuevalore ''r'' is calledè thechiamato [[radiusraggio ofdi gyrationinerzia]].

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|SolidCilindro cylindersolido ofdi radiusraggio ''r'', heightaltezza ''h'' ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]]

|<math>I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway"/><br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)</math>

| ThisQuesto isè aun specialcaso caseparticolare ofdel thetubo thick-walledcilindrico con pareti spesse ed cylindricalestremità tubeaperte, withcon ''r''₁=0. (NoteNota: in questa immagine gli assi X-Y axissono shouldscambiati berispetto swappedagli forassi acartesiani standard right handed frame)

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| Thick-walledTubo cylindricalcilindrico tubecon withpareti openspesse endsed estremità aperte, ofdi innerraggio radiusinterno ''r''₁, outerraggio radiusesterno ''r''₂, lengthlunghezza ''h'' ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:moment of inertia thick cylinder h.png]]

| <!-- Please read the discussion on the talk pagepagina ande the citedcitad source before changing the sign to a minus. --><math>I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway"/><ref>[{{cita web| url=http://www.livephysics.com/problems-ande-answers/classical-mechanics/find-moment-of-inertia-of-a-uniform-hollow-cylinder.html|titolo= Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder].|editore= LivePhysics.com.|accesso=31 Retrieved ongennaio 2008-01-31.|lingua=en}}</ref><br><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math><br>oro whendefinendo defining thelo normalizedspessore thicknessnormalizzato ''t_n''&nbsp;=&nbsp;''t''/''r'' ande lettingponendo ''r''&nbsp;=&nbsp;''r''₂, <br>thenallora <math>I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}{t_n}^2\right) </math>

| Withcon a density ofdensità ''ρ'' ande thela samestessa geometrygeometria <math>I_z = \frac{1}{2} \pi\rho h\left({r_2}^4 - {r_1}^4\right)</math> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} \pi\rho h\left(3({r_2}^4 - {r_1}^4)+h^2({r_2}^2 - {r_1}^2)\right)</math>

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| [[SphereSfera]] (hollowcava) ofdi radiusraggio ''r'' ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]]

|<math>I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway"/>

| AUna hollowsfera spherecava canpuò beessere takenconsiderata tocome becostituita madeda updue ofpile twodi stackscerchi ofinfinitamente infinitesimally thinsottili, circularuno hoopssopra l'altro, wherecon thei radiusraggi differsche fromaumentano da ''0'' toa ''r'' (oro a singleun'unica stackpila, ,con whereil theraggio radiusdei differscerchi fromcrescente da ''-r'' toa ''r'').

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| [[ball (mathematics)|BallSfera]] (solidpiena) ofdi radiusraggio ''r'' ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:moment of inertia solid sphere.svg|170px]]

|<math>I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway"/>

| A sphereUna cansfera bepuò takenessere toconsiderata become madecostituita upda ofdue twopile stacksdi ofdischi infinitesimallysolidi thininfinitamente sottili, soliduno discssopra l'altro, wherecon thei radiusraggi differsche fromaumentano da ''0'' toa ''r'' (oro a singleun'unica stackpila, wherecon theil radiusraggio differsdei fromcerchi crescente da ''-r'' toa ''r'').

Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da ''0'' a ''r''.

Also, it can be taken to be made up of infinitesimally thin, hollow spheres, where the radius differs from 0 to ''r''.

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| [[right angle|RightCono]] circularcircolare [[coneAngolo (geometry)retto|coneretto]] withcon radiusraggio ''r'', heightaltezza ''h'' ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:moment of inertia cone.svg|120px]]

|<math>I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="beer">{{citecita booklibro

|titletitolo=Vector Mechanics for Engineers, fourth ed.

|authorautore=FerdinandFerdine P. Beer ande E. Russell Johnston, Jr

|pagepagina=911

|publishereditore=McGraw-Hill

|isbn=0-07-004389-2

|yearanno=1984

}}</ref><br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}m\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="beer"/>

|—

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| [[Toro (geometria)|Toro]] con raggio del ''tubo'' (raggio del cerchio rosso) ''a'', distanza dal centro del ''tubo'' al centro del toro (raggio del cerchio rosa) ''b'' e massa ''m''.

| [[Torus]] of tube radius ''a'', cross-sectional radius ''b'' and mass ''m''.

|align="center"| [[Image:torus cycles.png|122px]]

| AboutIntorno aal diameterdiametro: <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="weisstein_torusweisstein_toro">{{citecita web

| url = http://scienceworld.wolfram.com/physics/MomentofInertiaRing.html

| titletitolo = Moment of Inertia &mdash; Ring

| authorautore = [[Eric W. Weisstein]]

| publishereditore = [[Wolfram Research]]

| accessdateaccesso = 2010-03-25

}}</ref><br/>

AboutIntorno theall'asse vertical axisverticale: <math>\left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="weisstein_torusweisstein_toro"/>

|—

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| [[EllipsoidEllissoide]] (solidsolido) ofdi semiaxessemiassi ''a'', ''b'', ande ''c'', withcon axisasse ofdi rotationrotazione ''a'' ande massmassa ''m''

| [[Image:Ellipsoid_321.png‎|170px]]

|<math>I_a = \frac{m (b^2+c^2)}{5}\,\!</math>

|—

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| ThinPiastra rectangularrettangolare platesottile ofdi heightaltezza ''h'', and of widthlarghezza ''w'' ande massmassa ''m'' <br>(AxisAsse ofdi rotationrotazione at the end ofall'estremità thedella platepiastra)

|align="center"| [[Image:Recplaneoff.svg]]

|<math>I_e = \frac {m h^2}{3}+\frac {m w^2}{12}\,\!</math>

|—

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| ThinPiastra rectangularrettangolare platesottile ofdi heightaltezza ''h'', and of widthlarghezza ''w'' ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:Recplane.svg]]

|<math>I_c = \frac {m(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway"/>

|—

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| Solid [[cuboidParallelepipedo]] ofsolido heightdi altezza ''h'', widthlarghezza ''w'', and depthprofondità ''d'', ande massmassa ''m''

|align="center"| [[Image:moment of inertia solid rectangular prism.png]]

|<math>I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right)</math>

| ForPer aun similarlycubo orientedorientato [[cubeallo (geometry)|cube]]stesso withmodo sidese ofcon lengthlati di lunghezza <math>s</math>,: <math>I_{CM} = \frac{m s^2}{6}\,\!</math>.

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| Solid [[cuboidParallelepipedo]] ofsolido heightdi altezza ''D'', widthlarghezza ''W'', and lengthlunghezza ''L'', ande massmassa ''m'' withcon theasse longestlungo diagonalla asdiagonale thepiù axislunga.

|align="center"| [[Image: Moment of Inertia Cuboid.jpg|140px]]

|<math>I = \frac{m\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math>

| ForPer aun cubecubo withdi sideslato <math>s</math>, <math>I = \frac{m s^2}{6}\,\!</math>.

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| PlanePoligono [[polygon]]piano withcon verticesvertici <math>\vec{P}_{1}</math>, <math>\vec{P}_{2}</math>, <math>\vec{P}_{3}</math>, ..., <math>\vec{P}_{N}</math> ande

massa <math>m</math> uniformemente distribuita, che ruota intorno a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine.

mass <math>m</math> uniformly distributed on its interior, rotating about an axis perpendicular to the plane and passing through the origin.

|align="center"| [[Image:Polygon moment of inertia.png|130px]]

|<math>I=\frac{m}{6}\frac{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|((\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n+1})+(\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n})+(\vec{P}_{n}\cdot\vec{P}_{n}))}{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|}</math>

|ThisQuesta expressionespressione assumesassume thatche theil polygonpoligono issia [[star-shapedInsieme polygonstellato|star-shapedstellato]]. TheI vectorsvettori <math>\vec{P}_{1}</math>, <math>\vec{P}_{2}</math>, <math>\vec{P}_{3}</math>, ..., <math>\vec{P}_{N}</math> aresono i [[position vectorPosizione|positionvettori vectorsposizione]] of thedei verticesvertici.

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| Disco infinito con massa [[Distribuzione normale|distribuita normalmente]] su due assi intorno all'asse di rotazione

| Infinite [[disk (mathematics)|disk]] with mass [[normally distributed]] on two axes around the axis of rotation

(i.e.per esempio: <math> \rho(x,y) = \tfrac{m}{2\pi ab}\, e^{-((x/a)^2+(y/b)^2)/2} </math>

Where :dove <math> \rho(x,y) </math> isè la thedensità mass-densitydella asmassa ain functionfunzione ofdi x ande y).

|align="center"| [[File:Gaussian 2D.png|130px]]

| <math>I = m (a^2+b^2) \,\!</math>

Riga 131:

|}

<!-- There is no such thing as an illegal set of axes. They may be invalid for some purposes but the x, y ande z may just be labels. The right-handhe rule has no bearing here.

the x-y-z axis for the solid cylinder does not follow the right-handhe rule ande is an illegal set of axis. -->

==SeeVedi alsoanche==

*[[ParallelMomento axisdi theoreminerzia]]

*[[Teorema di Huygens-Steiner|Teorema di Huygens-Steiner, o degli assi paralleli]]

*[[Perpendicular axis theorem]]

*[[List of area moments of inertia]]

*[[List of moment of inertia tensors]]

==ReferencesNote==

<references/>

<!--

[[Category:Mechanics|Moment of inertia]]

[[Category:Physics lists|Moments of inertia]]

[[Category:IntroductoryIntAstauctory physics]]

[[ar:ملحق:قائمة عزم القصور الذاتي]]

Riga 159 ⟶ 158:

[[uk:Список моментів інерції]]

[[zh:轉動慣量列表]]

-->