Simmetria (statistica): differenze tra le versioni

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[[File:SkewedDistribution.png|thumb|Esempio di dati sperimentali che presentano asimmetria]]

In [[statistica]] una [[distribuzione statistica|distribuzione]], una [[funzione di probabilità]],

In [[teoria delle probabilità]] una [[distribuzione di probabilità]] è '''simmetrica''' quando la sua [[funzione di probabilità]] <math>P</math> (nel caso [[distribuzione discreta|discreto]]) o la sua [[funzione di densità di probabilità]] (nel caso [[distribuzione continua|continuo]]) siano [[simmetria (matematica)|simmetriche]] rispetto ad un particolare valore <math>x_0</math>:

una [[funzione di densità]] o comunque una [[variabile casuale]] si dicono '''simmetriche'''

quando esiste un valore ''X_m'' (che coincide con la [[media]] aritmetica ovvero con il [[valore atteso]])

per il quale a tutti i valori minori ''X_a'' (con ''X_a''=''X_m''-&Delta;)

corrisponde una [[frequenza (statistica)|frequenza]] o [[funzione di probabilità]] o [[funzione di densità]]

identica a quella che corrisponde al valore ''X_b''=''X_m''+&Delta;.

:<math>P(x_0+x)=P(x_0-x)</math> oppure <math>f(x_0+x)=f(x_0-x).</math>

In altre parole, quando vale l'uguaglianza f(&mu;-&delta;)=f(&mu;+&delta;).

Esempi di distribuzioni simmetriche sono le distribuzioni uniformi ([[distribuzione discreta uniforme|discreta]] e [[distribuzione continua uniforme]]) su insiemi simmetrici, la [[distribuzione normale]] e altre distribuzioni derivate da distribuzioni simmetriche (la [[distribuzione t di Student]]) oppure definite in maniera simmetrica (la [[distribuzione di Skellam]] con parametri uguali).

In generale viene usato l'indicatore di simmetria

:&beta;₁ = (&mu;₃)&sup2; / (&mu;₂)&sup3;

che è

:=0, nel caso di perfetta simmetria

:<0, per l'assimetria a destra

:>0, per l'assimetria a sinistra

oppure la sua radice

:&gamma;₁ = &mu;₃ / &radic;(&mu;₂)&sup3; = &radic;&beta;₁

Entrambi hanno lo svantaggio che possono assumero valore nullo anche in presenza di assimetria.

Un '''indice di asimmetria''' (in [[lingua inglese|inglese]] ''skewness'') di una distribuzione è un valore che cerca di fornire una misura della sua mancanza di simmetria.

Un altro importante indice di asimmetria è lo [[skewness]] di Pearson.

:S_k = (&mu;-&nu;₀)/&sigma; ove &nu;₀ è la [[moda (statistica)|moda]]

che ha come difetto il fatto che

*è applicabile solo a distribuzioni unimodali

*non è normalizzato

*assumere valore zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per una simmetria

Esistono diversi indici di asimmetria. Per ognuno di essi il valore 0 fornisce una condizione necessaria, ma '''non''' sufficiente, affinché una distribuzione sia simmetrica. (Ogni distribuzione simmetrica ha indice 0, ma esistono anche distribuzioni non simmetriche con indice 0).

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Vedi anche:

Gli indici di asimmetria comunemente utilizzati si basano su alcune proprietà delle distribuzioni simmetriche o, in particolare, della [[distribuzione normale]]. Per tutte queste

* [[variabile casuale simmetrica]]

* il [[valore atteso]], la [[mediana (statistica)|mediana]] e la [[moda (statistica)|moda]] (se è unica) coincidono;

* i [[momento (statistica)|momenti centrali]] di ordine dispari sono nulli.

== Indice di asimmetria ==

L'indice più utilizzato, noto semplicemente come ''indice di asimmetria'' o ''skewness'', è definito come

:<math>\gamma_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}</math>

tramite i momenti centrali <math>m_k=E[\bar{X}^k]</math>, ossia i valori attesi delle potenze della variabile aleatoria [[valore atteso|centrata]] <math>\bar{X}=X-E[X].</math>

Poiché il primo momento centrale è sempre nullo ed il secondo momento centrale (la [[varianza]]) è nullo solo per le distribuzioni concentrate su un unico valore, il terzo momento centrale <math>m_3</math> è quello di ordine più basso che può "sperare" di misurare l'asimmetria di una distribuzione. Inoltre il riscalamento per <math>m_2^{3/2}</math> permette all'indice <math>\gamma_1</math> di restare invariato per [[trasformazione lineare|trasformazioni lineari]] <math>Y=aX+b,</math> che trasformano i momenti centrali come <math>m_k(aX+b)=a^km_k(X).</math>

Talvolta viene utilizzato al posto di <math>\gamma_1</math> l'indice

:<math>\beta_1=\gamma_1^2=\frac{m_3^2}{m_2^3},</math>

che tuttavia perde l'informazione sul [[segno (matematica)|segno]] dell'asimmetria.

In [[statistica]] l'indice di asimmetria calcolato su un campione osservato <math>\{x_1,\ldots,x_n\}</math> di media <math>\bar{x}</math> segue la formula

:<math>\gamma_1=\frac{\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-\bar{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-\bar{x})^2\right)^{3/2}}.</math>

Il successivo momento centrale <math>m_4</math> viene invece utilizzato per calcolare la [[curtosi]] (che vuole "misurare" l'allontanamento della distribuzione dalla distribuzione normale).

=== Proprietà ===

Ogni distribuzione simmetrica ha indice di asimmetria 0.

La somma <math>Y=X_1+\ldots+X_n</math> di <math>n</math> variabili aleatorie [[variabili indipendenti]] con la ''stessa'' distribuzione ha momenti centrali <math>m_k(Y)=nm_k(X);</math> in particolare

:<math>\gamma_1(Y)=\frac{1}{\sqrt{n}}\gamma_1(X).</math>

Una convinzione '''sbagliata''' ma diffusa (e "sostenuta" da alcuni testi che la riportano come "regola indicativa") è che il segno del coefficiente <math>\gamma_1</math> possa determinare le posizioni reciproche del valore atteso, della [[mediana (statistica)|mediana]] e della [[moda (statistica)|moda]] (se questa è unica) di una distribuzione, in particolare che esse debbano coincidere se <math>\gamma_1=0</math>.<ref>{{cita web|url=https://doi.org/10.1080/10691898.2005.11910556|titolo=Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule|lingua={{en}}|autore=Paul T. von Hippel|accesso=06 novembre 2022|opera=Journal of Statistics Education}}</ref>

== Indice di Pearson ==

Alcuni indici di asimmetria alternativi per un [[campione (statistica)|campione statistico]] sono stati proposti da [[Karl Pearson]]; coinvolgono la media (il [[valore atteso]]), la [[mediana (statistica)|mediana]], la [[moda (statistica)|moda]] e lo [[scarto quadratico medio]] (la radice quadrata della varianza):

* l'asimmetria di moda di Pearson

::<math>\frac{\text{media} - \text{moda}}{\text{scarto quadratico medio}};</math>

* il primo coefficiente di asimmetria di Pearson

::<math>\frac{3(\text{media} - \text{moda})}{\text{scarto quadratico medio}};</math>

* il secondo coefficiente di asimmetria di Pearson

::<math>\frac{3(\text{media} - \text{mediana})}{\text{scarto quadratico medio}}.</math>

Poiché la media e la mediana sono uniche per ogni distribuzione e coincidono per distribuzioni simmetriche, il segno del secondo coefficiente di Pearson dà informazioni sul tipo di asimmetria. Nel caso in cui il segno sia positivo, ossia la media è maggiore della mediana, il picco della distribuzione è spostato verso destra; verso sinistra se il segno è negativo.

== Indice di Bowley-Yule ==

Un altro indice di asimmetria, basato sui [[Quantile|quantili]], introdotto da [[Arthur Lyon Bowley|Bowley]] e riproposto da [[George Udny Yule|Yule]] usa la formula

:<math>\gamma = \frac{(x_{(0,75)} - x_{(0,5)})-(x_{(0,5)}-x_{(0,25)})}{x_{(0,75)}-x_{(0,25)}}=\frac{q_1+q_3-2M}{q_3-q_1},</math>

dove <math>x_{( \alpha)}</math> indica il quantile di ordine <math>\alpha</math>, <math>q_1</math> e <math>q_3</math> identificano rispettivamente il primo e il terzo quartile di <math>x</math> e <math>M=q_2</math> è la mediana della distribuzione.<ref>{{Cita libro|autore=Arthur Lyon Bowley|titolo=Elements of Statistics|edizione=4|annooriginale=1901|anno=1920|editore=P.S. King & Son|città=Londra|lingua=inglese}}</ref>

Talvolta questa quantità viene generalizzata nella forma

:<math>\gamma_\alpha = \frac{x_{(\alpha)}+x_{(1-\alpha)}-2M}{x_{(1-\alpha)}-x_{( \alpha)}},\qquad</math> con <math>0 \le \alpha < 0,5.</math>

== Esempio ==

Un esempio di distribuzione non simmetrica con coefficiente di asimmetria 0 è la distribuzione discreta

:<math>P(-4)=\tfrac{1}{3},\quad P(1)=\tfrac{1}{2},\quad P(5)=\tfrac{1}{6},</math>

che può essere visualizzata come il lancio di un dado le cui sei facce presentino i numeri "-4, -4, 1, 1, 1, 5".

Questa distribuzione è chiaramente non simmetrica, tuttavia ha [[valore atteso]] uguale a 0 (è centrata) e terzo momento centrale uguale a <math>\tfrac{-64-64+1+1+1+125}{6}=0,</math> pertanto ha indici di asimmetria <math>\gamma_1=\beta_1=0.</math>

Nell'esempio la moda e la mediana non coincidono con la media, ma questo si può ottenere aggiungendo altre 4 "facce" con valore 0; in questo modo anche gli indici di Pearson diventano nulli e la distribuzione resta non simmetrica.

== Note ==

<references/>

== Voci correlate ==

*[[Curtosi]]

*[[Momento (statistica)]]

*[[Simmetria (matematica)]]

*[[Valore atteso]]

*[[Varianza]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sulla}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Statistica}}

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria della probabilità]]

[[Categoria:Indici di forma]]

[[Categoria:Statistica descrittiva]]