Fenomeno di Runge: differenze tra le versioni

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[[Immagine:Rungesphenomenon.png|thumb|upright=1.4|La curva rossa è la funzione di Runge, la curva blu è un polinomio di quinto grado, e la curva verde è un polinomio di nono grado. L'approssimazione, in prossimità degli estremi dell'intervallo, peggiora all'aumentare del grado.]]

In [[Analisianalisi numerica]] il '''Fenomenofenomeno di Runge''' è un problema relativo all'[[interpolazione polinomiale]] su nodi equispaziati con [[polinomio|polinomi]] di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo.

È stato scoperto da [[Carl David Tolmé Runge]] mentre studiava il comportamento degli errori dell'[[interpolazione polinomiale]] per [[approssimazione|approssimare]] alcune [[Funzione_(matematica)|funzioni]].

== Problema ==

ConsideriamoSi consideri la [[Funzione_(matematica)|funzione]]:

:<math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}.</math>

Consideriamo la [[Funzione_(matematica)|funzione]]:

Runge trovò che interpolando questa [[Funzione_(matematica)|funzione]] in un insieme di punti <math>x_i</math> equidistanti nell'intervallo <math>\left[-1, 1 \right]</math>,

<math>f(x) = \frac{1}{1+25x^2}</math>

Runge trovò che interpolando questa [[Funzione_(matematica)|funzione]] in un insieme di punti <math>x_i</math> equidistanti nell'intervallo <math>\left[-1, 1 \right]</math>,

<!-- <math>x_i = \sum_{i=1}^{n+1} (-1+(i-1)\frac{2}{n})</math> -->

con un [[polinomio]] <math>P_n(x)</math> di grado al più <math>\leq n</math>, l'interpolazione risultante oscilla in [[ampiezza]] verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso <math>-1</math> e <math>+1</math>).

È inoltre possibile provare che tale errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:

:<math>\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \max_{x \in \left[-1,1\right]} \left| f(x) - P_n(x) \right| \right) = +\infty</math>

== Soluzione ==

Il controesempio di Runge mostra che non è conveniente usare polinomi di grado elevato su nodi equispaziati per interpolare una funzione. TuttaviaPer èottenere possibilesu ottenerefunzioni di questo tipo uno schema di interpolazione il cui errore diminuisca all'aumentare del numero di nodi, utilizzandosi possono utilizzare i [[nodi di Čebyšëv]] inanziché alternativa aii punti equidistanti. Altre alternative sono l'uso dell'[[interpolazione spline]] o l'uso dell'interpolazione composita, suddividendo l'intervallo di interpolazione in più parti

Altre alternative sono l'uso dell'[[interpolazione spline]] o l'uso dell'interpolazione composita, suddividendo l'intervallo di interpolazione in più parti

e calcolando su ciascun sottointervallo un polinomio interpolante di grado non elevato (ad esempio grado 1 o 2).

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