Regressione Fama-MacBeth: differenze tra le versioni
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::<math>\hat t_k = \frac{\hat\beta^{(k)}}{\sqrt{\frac{1}{T(T-1)}\sum_{t=1}^{T}\left(\hat\beta_t^{(k)}-\hat\beta^{(k)}\right)^2 }}</math>
dove <math>\hat\beta^{(k)}</math> denota la componente <math>k</math>-esima del vettore di stime <math>\hat\beta</math>.
==Proprietà asintotiche==
Riscrivendo il modello della sezione precedente in notazione matriciale:
::<math>y_t=X_t\beta+\varepsilon_t,\quad t=1,\ldots,T</math>
lo stimatore di Fama-MacBeth per il vettore di parametri <math>\beta</math> è dato da:
::<math>\hat\beta=\frac{1}{T}\sum_t(X_t'X_t)^{-1}X_t'y_t=\beta+\frac{1}{T}\sum_t(X_t'X_t)^{-1}X_t'\varepsilon_t=\beta+\frac{1}{T}\sum_t\left(\frac{X_t'X_t}{N_t}\right)^{-1}\frac{X_t'\varepsilon_t}{N_t}</math>
Seguendo l'approccio standard dei testi di econometria (cfr. ad es. Greene (2003)), si ipotizzi:
*<math>\mathrm{plim}_{N_t\rightarrow\infty}\frac{1}{N_t}X_t'X_t=Q_t\ \forall\ t</math>, e <math>\exists\ Q_t^{-1}\ \forall\ t</math>;
*<math>\mathrm{plim}_{N_t\rightarrow\infty}\frac{1}{N_t}X_t'\varepsilon_t=\mathbf{0}\ \forall\ t</math>.
dove <math>\mathrm{plim}</math> denota la [[convergenza in probabilità]]. Si ha dunque:
::<math>\mathrm{plim}_{N_t\rightarrow\infty\ \forall\ t}\hat\beta=\beta+\frac{1}{T}\sum_tQ_t^{-1}\mathrm{plim}_{N_t\rightarrow\infty}\frac{X_t'\varepsilon_t}{N_t}=\beta</math>
Lo stimatore di Fama-MacBeth gode dunque della proprietà di [[consistenza (statistica)|consistenza]].
Sotto una serie di condizioni standard (si veda ancora Greene (2003)), è possibile applicare il [[teorema del limite centrale]] agli stimatori OLS <math>\hat\beta_t</math>:
::<math>\sqrt{N_t}\left(\hat\beta_t-\beta\right)\ \stackrel{d}{\rightarrow}\ z\sim\mathcal{N}\left(\mathbf{0},\sigma^2Q_t^{-1}\right)</math>
dove <math>\sigma^2=\mathrm{plim}_{N_t\rightarrow\infty}\frac{1}{N_t}\varepsilon_t'\varepsilon_t</math>. Ma allora lo stimatore di Fama-MacBeth è una media aritmetica di vettori casuali aventi distribuzione normale, ed è, di conseguenza, anch'esso normalmente distribuito. Ipotizzando che <math>\mathrm{plim}_{N_t\rightarrow\infty}\frac{1}{N_t}\varepsilon_t\varepsilon_\tau'=\mathbf{0}\ \forall\ \tau\neq t</math> (assenza di correlazione seriale), in particolare, si avrà:
::<math>\mathrm{plim}_{N_t\rightarrow\infty\ \forall\ t} \hat\beta\ \stackrel{d}{\rightarrow}\ \mathcal{N}\left(\beta,\frac{\sigma^2}{T}\sum_tQ_t^{-1}\right)</math>
È sulla base dell'espressione sopra che risulta legittimo ricorrere a statistiche <math>t</math> di Student come quelle descritte nella Sezione precedente.
==Applicazioni e variazioni==
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