Differenze divise: differenze tra le versioni

Versione delle 22:27, 11 apr 2019

Versione delle 22:33, 11 apr 2019

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Siano <math display="inline">\{x_0, x_1,\dots, x_n\}</math>, <math display="inline">n+1</math> punti o nodi assegnati, che inizialmente supponiamo distinti.

Definiamo la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">0</math> di di <math display="inline">f(x)</math>''':

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</math>

dove una scrittura equivalente per <math>f[x_0]</math>è <math display="inline">A_0</math>.

Definiamo la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">1</math>''':

<math>

A_1 = f[x_0,x_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = f[x_1,x_0]

</math>

</math> che è il [[rapporto incrementale]] <math display="inline">\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> costruito su due punti.

Definiamoche laè '''differenzail divisa[[rapporto di ordineincrementale]] <math display="inline">2\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>''': <math>costruito su due punti.

Definiamo la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">2</math>''':

<math>

A_2 = f[x_0,x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}

</math>

E in generale la '''differenza divisa di ordine <math display="inline">n</math>''':

<math>

A_n = f[x_0,x_1,\dots, x_n] =

\frac

{f[x_1,x_2,\dots, x_n]-f[x_0,x_1,\dots, x_{n-1}]}

{x_n-x_0}

</math>

</math> Per induzione matematica non è difficile dimostrare che <math display="block">

== Invarianza per permutazione ==

</math> Per induzione matematica non è difficile dimostrare che <math display="block">

f[x_0,x_1,\dots, x_n] =

\sum_{k=0}^n{

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}

</math> Quest’ultimaQuesta espressione ci permette di affermare che <math display="inline">f[x_0,x_1,\dots, x_n]</math> è una funzione '''invariante a [[permutazione]]''' dei suoi argomenti, cioè <math display="block">

f[x_0,x_1,\dots, x_n] = f[x_{i_0},x_{i_1},\dots, x_{i_n}]

</math> dove <math display="inline">(i_0,i_1,\dots, i_n)</math> denota una qualsiasi permutazione di <math display="inline">(0, 1, \dots, n)</math>.