Modello lineare generalizzato: differenze tra le versioni
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I modelli lineari generalizzati vennero formulati da [[John Nelder]] e [[Robert Wedderburn]]
come un modo per uniformare all'interno di un unico modello diversi altri modelli statistici, compreso il [[regressione lineare|modello lineare]], le [[regressione logistica]] e la [[regressione poissoniana]].
Riesce in questo modo a incorporare anche altri modelli. <ref>{{Cita pubblicazione|nome=J. A.|cognome=Nelder|nome2=R. W. M.|cognome2=Wedderburn|data=1972|titolo=Generalized Linear Models|rivista=Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General)|volume=135|numero=3|pp=370–384|accesso=2020-11-01|doi=10.2307/2344614|url=https://www.jstor.org/stable/2344614}}</ref>
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La regressione lineare ordinaria prevede il valore atteso di una data quantità sconosciuta (la variabile di risposta, una variabile casuale) come combinazione lineare di un insieme di valori osservati (predittori). Ciò implica che un cambiamento costante in un predittore porta a un cambiamento costante nella variabile di risposta (cioè un modello a risposta lineare). Ciò è appropriato quando la variabile di risposta può variare, con buona approssimazione, indefinitamente in entrambe le direzioni, o più generalmente per qualsiasi quantità che varia solo di una quantità relativamente piccola rispetto alla variazione delle variabili predittive, ad es. altezze umane.
Tuttavia, queste ipotesi non sono appropriate per alcuni tipi di variabili di risposta. Ad esempio, nei casi in cui si prevede che la variabile di risposta sia sempre positiva e che vari in un ampio intervallo, i cambiamenti costanti dell'input portano a variazioni di output che variano geometricamente (cioè in modo esponenziale), piuttosto che costantemente. Ad esempio, supponiamo che un modello di previsione lineare apprenda da alcuni dati (forse tratti principalmente da grandi spiagge) che una diminuzione della temperatura di 10 gradi porterebbe a 1.000 persone in meno a visitare la spiaggia. È improbabile che questo modello si generalizzi bene su spiagge di dimensioni diverse. Più specificamente, il problema è che se si utilizza il modello per prevedere la nuova presenza con un calo di temperatura di 10 per una spiaggia che riceve regolarmente 50 bagnanti, si prevede un valore di presenza impossibile di -950. Logicamente, un modello più realistico prevederebbe invece un tasso costante di maggiore frequentazione della spiaggia (ad es. Un aumento di 10 gradi porta a un raddoppio della frequentazione della spiaggia e un calo di 10 gradi porta a un dimezzamento delle presenze). Tale modello è definito modello a risposta esponenziale (o modello log-lineare, poiché si prevede che il logaritmo della risposta vari linearmente).
Allo stesso modo, un modello che predice una probabilità di fare una scelta sì / no (una variabile di Bernoulli) è ancora meno adatto come modello a risposta lineare, poiché le probabilità sono limitate su entrambe le estremità (devono essere comprese tra 0 e 1). Immagina, ad esempio, un modello che prevede la probabilità che una determinata persona vada in spiaggia in funzione della temperatura. Un modello ragionevole potrebbe prevedere, ad esempio, che una variazione di 10 gradi rende una persona due volte più o meno propensa ad andare in spiaggia. Ma cosa significa "due volte più probabile" in termini di probabilità? Non può letteralmente significare raddoppiare il valore di probabilità (ad es. 50% diventa 100%, 75% diventa 150%, ecc.). Piuttosto, sono le probabilità che raddoppiano: da 2: 1 a 4: 1, a 8: 1, ecc. Tale modello è un modello logistico o logistico.
I modelli lineari generalizzati coprono tutte queste situazioni consentendo variabili di risposta che hanno distribuzioni arbitrarie (piuttosto che distribuzioni semplicemente normali) e che una funzione arbitraria della variabile di risposta (la funzione di collegamento) vari linearmente con i valori previsti (piuttosto che assumere che la risposta stessa deve variare linearmente). Ad esempio, il caso precedente del numero previsto di partecipanti alla spiaggia sarebbe tipicamente modellato con una distribuzione di Poisson e un collegamento log, mentre il caso della probabilità prevista di frequentazione della spiaggia sarebbe tipicamente modellato con una distribuzione di Bernoulli (o distribuzione binomiale, a seconda esattamente come viene formulato il problema) e una funzione di collegamento log-odds (o logit). <ref>{{Cita pubblicazione|nome=Stephen|cognome=Senn|data=2003-02|titolo=A Conversation with John Nelder|rivista=Statistical Science|volume=18|numero=1|pp=118–131|lingua=en|accesso=2020-11-01|doi=10.1214/ss/1056397489|url=https://projecteuclid.org/euclid.ss/1056397489}}</ref>
== Panoramica ==
In un GLM, ciascun valore dalla variabile dipendente '''Y''' si assume venga generato da una particolare variabile casuale della famiglia esponenziale, la quale comprende parecchie variabili casuali quali [[variabile casuale binomiale|binomiale]], [[variabile casuale poissoniana|poissoniana]], [[variabile casuale gamma|gamma]], [[variabile casuale normale inversa|normale inversa]] e altre.
La media '''''μ''''' della distribuzione dipende dalla variabile indipendente '''X''':
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== Le componenti del modello ==
Il GLM è composto da tre elementi <ref>{{Cita web|url=https://online.stat.psu.edu/stat504/node/216/|titolo=6.1 - Introduction to Generalized Linear Models {{!}} STAT 504|sito=online.stat.psu.edu|accesso=2020-11-01}}</ref>:
# La funzione di distribuzione ''f'', facente parte della famiglia esponenziale
# Il predittore lineare ''η'' = '''X''β''''' .
# Una funzione ''g'', detta "link", tale che E('''Y''') = '''μ''' = ''g''<sup>−1</sup>(''η'').
=== Distribuzione della probabilità ===
<nowiki>Una famiglia esponenziale di distribuzioni sovradisperse è una generalizzazione di una famiglia esponenziale e del modello di dispersione esponenziale delle distribuzioni e include quelle famiglie di distribuzioni di probabilità, parametrizzate da {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ boldsymbol {\ theta}} e {\ displaystyle \ tau} \ tau, le cui funzioni di densità f (o funzione di massa di probabilità, nel caso di una distribuzione discreta) possono essere espresse nella forma :</nowiki>
== Fonti ==
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