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L'[[equilibrio generale]] macroeconomico si ha quando i due [[mercato|mercati]] sono simultaneamente in equilibrio, vale a dire quando nel settore reale la domanda aggregata è uguale all'offerta aggregata e quando nel settore monetario la domanda di moneta è uguale all'offerta di moneta. L'equilibrio è simultaneo in quanto i due mercati presentano variabili comuni, e dunque essi sono interdipendenti.
== Trattazione matematica==
Immaginiamo che nel nostro sistema economico tutte le attività si suddividano in 2 categorie: quelle che maturano interessi dette "titoli" e quelle che non fruttano alcun interesse dette "moneta".
La domanda di moneta è la quantità di moneta di cui hanno bisogno le famiglie per provvedere agli acquisti. Essa cresce con l'aumentare del PIL infatti se il PIL cresce aumenta la necessità di moneta da parte delle famiglie per effettuare le proprie transazioni, mentre decresce con l'aumentare del tasso di interesse dei titoli perchè le famiglie riterranno più conveniente investire in titoli piuttosto che possedere moneta.
La domanda di moneta quindi è una funzione differenziabile nelle 2 variabili Y ed r essendo r il tasso di interesse . Essendo L(Y,r) crescente in Y e decrescente in r risulta:
::<math>L_{Y}(Y_{*},r_{*})=\dfrac{\delta L}{\delta Y} >0 </math>
e
::<math>L_{r}(Y_{*},r_{*})=\dfrac{\delta L}{\delta r} <0 </math>
Inoltre poichè gli agenti economici possono detenere esattamente la quantità di moneta offerta dalla Banca centrale allora l'offerta di moneta m deve eguagliare la domanda di moneta L pertanto:
::<math> L(Y,r) = m </math>
Poichè sono soddisfatte le ipotesi del teorema delle funzioni implicite o di Dini esiste un intorno di una coppia <math> (Y_{*},r_{*}) </math> e una funzione Y=f(r) soluzione di <math> L(Y,r) = m </math> e risulta :
::<math>\dfrac{dY}{dr}=-\dfrac{L_{Y}(Y,r)}{L_{r}(Y,r)}>0</math>
quindi se il tasso di interesse cresce,deve crescere anche il PIL affinchè la domanda di moneta continui ad eguagliare l'offerta di moneta. Quando il tasso di interesse cresce, L decresce in r ma cresce in Y quindi se cresce r e cresce anche il PIL e viceversa l'equilibrio tra domanda e offerta di moneta si mantiene.
Secondo l'ipotesi keynesiana l'investimento in titoli delle famiglie (risparmio S) non dipende solo dal tasso di interesse ma anche dal livello del reddito (PIL) pertanto S = sY dove s è la propensione marginale al risparmio con 0<s<1. I titoli delle famiglie possono finanziare o l'investimento delle aziende I oppure la spesa pubblica dello Stato G pertanto :
::<math> sY = I(r) + G </math>
La funzione I è decrescente in r infatti minore è il tasso di interesse , minore saranno i prestiti nel mercato dei capitali.
Essendo soddisfatte anche in tal caso le ipotesi del teorema delle funzioni implicite relativamente alla funzione a 2 variabili H(Y,r):=sY-I(r) risulta:
::<math>\dfrac{dY}{dr}=-\dfrac{\frac{dI}{dr}}{s}<0</math>
quindi affinchè i risparmi continuino ad eguagliare la spesa pubblica e la spesa per investimenti se cresce r deve decrescere Y e viceversa.
Ora considerato il sistema dato dalle 2 funzioni implicite sopra indicate dove Y ed r si considerano variabili endogene ed m,G esogene:
::<math>\begin{array}{cr} (1) L(Y,r) = m \\ (2) H(Y,r) = sY-I(r)= G \end{array}</math>
poichè le 2 funzioni L ed H sono differenziabili e il determinante :
::<math> J=\left\vert \begin{array}{cr} \dfrac{\delta H}{\delta Y} & \dfrac{\delta H}{\delta r} \\ \dfrac{\delta L}{\delta Y} & \dfrac{\delta L}{\delta r} \end{array}\right\vert =\left\vert \begin{array}{cr} s & -\dfrac{dI}{dr} \\ L_{Y}(Y,r) & L_{r}(Y,r) \end{array}\right\vert \neq 0 </math>
si può applicare il teorema di invertibilità locale delle funzioni allora esistono 4 valori
::<math> Y_{*},r_{*},G_{*}=H(Y_{*},r_{*}),m_{*}=L(Y_{*},r_{*}) </math> tali che :
::<math> \left( \begin{array}{cr} s & -\dfrac{dI(r_{*})}{dr} \\ L_{Y}(Y_{*},r_{*}) & L_{r}(Y_{*},r_{*}) \end{array}\right) \left( \begin{array}{cr} dY\\dr\end{array}\right)=\left( \begin{array}{cr} dG\\dm\end{array}\right)</math>
Calcolando la matrice inversa di J e risolvendo il sistema si ottiene:
::<math>
\begin{array}{cr}
dY=\dfrac{L_{r}(Y_{*},r_{*})}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+\dfrac{dI(r_{*})}{dr}L_{r}(Y_{*},r_{*})}dG+\dfrac{\dfrac{dI(r_{*})}{dr}}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+\dfrac{dI(r_{*})}{dr}L_{r}(Y_{*},r_{*})}dm \\
dr=\dfrac{-L_{Y}(Y_{*},r_{*})}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+\dfrac{dI(r_{*})}{dr}L_{r}(Y_{*},r_{*})}dG+\dfrac{s}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+\dfrac{dI(r_{*})}{dr}L_{r}(Y_{*},r_{*})}dm
\end{array}
</math>
Essendo nell'equazione 3) i termini che moltiplicano dG e dm tutti positivi, mentre nell'equazione 4) uno positivo e l'altro negativo esistono 8 possibilità di politica fiscale e monetaria:
1) Se aumenta l'offerta di moneta della Banca centrale ed aumenta la spesa pubblica di sicuro aumenta il PIL ma non si può dire nulla sulla variazione del tasso di interesse.
2) Se aaumenta l'offerta di moneta e diminuisce la spesa pubblica di sicuro il tasso di interesse diminuisce ma nulla si può dire sulla variazione del PIL.
3) Se diminuisce sia la spesa pubblica che l'offerta di moneta di sicuro diminuisce il PIL ma nulla si può dire sulla variazione del tasso di interesse.
4)Se diminuisce l'offerta di moneta ed aumenta la spesa pubblica il tasso di interesse aumenta ma nulla si può dire sulla variazione del PIL.
5) Se non c'è variazione di offerta di moneta e la spesa pubblica aumenta, aumentano sia il PIL che il tasso di interesse.
6)Se non c'è variazione di offerta di moneta e diminuisce la spesa pubblica diminuisce sia il PIL che il tasso di interesse.
7) Se non c'è variazione di spesa pubblica ma aumenta l'offerta di moneta il Pil aumenta ma il tasso di interesse diminuisce.
8) Se non c'è variazione di spesa pubblica e diminuisce l'offerta di moneta il Pil diminuisce ma il tasso di interesse aumenta.
== Equazioni della curva LM ==
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