Curvatura scalare: differenze tra le versioni

Versione delle 14:14, 12 nov 2011

Versione delle 21:57, 10 mag 2012

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La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto <math>p</math> della varietà riemanniana <math>M</math> ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello [[spazio euclideo]]. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio <math>\epsilonvarepsilon</math> è dato da

: <math> \frac{\operatorname{Vol} (B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}

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1- \frac{R}{6(n+2)}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4)</math>

La [[derivata seconda]] di questo rapporto, valutata in <math>\epsilonvarepsilon = 0 </math>, è esattamente

:<math>-\frac R{3(n+2)}.</math>

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle <math>(n-1)</math>-sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente: