Modello IS-LM: differenze tra le versioni

Versione delle 17:11, 21 lug 2012

Versione delle 19:57, 24 lug 2012

Riga 78:

Poiché il PIL cresce quando la domanda (spesa pubblica più investimenti) supera i risparmi e il tasso di interesse cresce quando la domanda di moneta supera l'offerta si ha :

:<math>\dfracfrac{dY}\mathrm{dtd}=Y}{\varphi_mathrm{1d}t}=\varphi_1\Big(-sY(t)+G(t)+I\big(r(t)\big)\Big) \quad \mbox{con} \quad \dfracfrac{d\varphi_mathrm{1d}\varphi_1}{dt\mathrm{d}t}>0 \quad \varphi_{1}varphi_1(0)=0</math>

:<math>\dfracfrac{dr}\mathrm{dtd}=r}{\varphi_mathrm{2d}t}=\varphi_2\big(L(Y(t),r(t))-m(t)\big) \quad \mbox{con} \quad \dfracfrac{d\varphi_mathrm{2d}\varphi_2}{dt\mathrm{d}t}>0 \quad \varphi_{2}varphi_2(0)=0</math>

Riscrivendo il sistema in forma lineare si ha

:<math>\dfracfrac{dY}\mathrm{dtd}=Y}{\varphi_mathrm{1d}t}=\varphi_1\big(-sY(t)+G(t)-br(t)\big)</math>

:<math>\dfracfrac{dr}\mathrm{dtd}=r}{\varphi_mathrm{2d}t}=\varphi_2\big(kY(t)-\sigma r(t)-m(t)\big)</math>

Applicando la definizione di stato stazionario di un sistema dinamico si ha che nel caso specifico esso risulti uguale alla coppia <math>(Y_{*},r_{*})</math> tale che :

:<math>\dfracfrac{dY}\mathrm{dtd}=Y}{\varphi_mathrm{1d}t}=\varphi_1(-sY_{*}+G-br_{*})=0</math>

:<math>\dfracfrac{dr}\mathrm{dtd}=r}{\varphi_mathrm{2d}t}=\varphi_2(kY_{*}-\sigma r_{*}-m)=0</math>

Essendo le funzioni <math>\varphi_{1}</math>, <math>\varphi_{2}</math> lineari e crescenti in base alle ipotesi allora esistono le loro rispettive funzioni inverse e si ha :

:<math>-s\varphi_{1}(Y_{*})+\varphi_{1}varphi_1(G)-b\varphi_{1}varphi_1(r_{*})=0</math>

:<math>k\varphi_{2}(Y_{*})-\sigma \varphi_{2}(r_{*})-\varphi_{2}(m)=0</math>

Riga 108:

Risolvendo il sistema si ottiene lo stato stazionario :

:<math>Y_{*}=\dfracfrac{\sigma G+bm}{s\sigma +bk}</math>

:<math>r_{*}=\dfracfrac{kG-sm}{s\sigma +bk}</math>

Posto :

Riga 116:

:<math>Y_{1}(t):=Y(t)-Y_{*}</math>

:e

:<math>r_{1}(t):=r(t)-r_{*}</math>

Riga 122:

per la linearità delle 2 funzioni si ha :

:<math>\dfracfrac{dY_\mathrm{d}Y_{1}}{dt}=\varphi_{1*}\big(-sY_{1}(t)+G(t)-br_{1}(t)\big)</math>

:<math>\dfracfrac{dr_\mathrm{d}r_{1}}{dt\mathrm{d}t}=\varphi_{2*}\big(kY_{1}(t)-\sigma r_{1}(t)-m(t)\big)</math>

Applicando la formula di Taylor alle funzioni <math>\varphi_{1*}</math>, <math>\varphi_{2*}</math> si ha :

:<math>\dfracfrac{dY_\mathrm{d}Y_{1}}{dt}=-sY_{1}(t)+G(t)-br_{1}(t)</math>

:<math>\dfracfrac{dr_\mathrm{d}r_{1}}{dt\mathrm{d}t}=kY_{1}(t)-\sigma r_{1}(t)-m(t)</math>

che si può scrivere nella forma :

:<math>\left( \begin{array}{c}

\dfracfrac{dY_\mathrm{d}Y_{1}(t)}{dt\mathrm{d}t} \\ \dfracfrac{dr_\mathrm{d}r_{1}(t)}{dt\mathrm{d}t} \end{array}\right)=

\left( \begin{array}{cc} -s & -b \\ k & -\sigma \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} Y_{1}(t) \\ r_{1}(t) \end{array}\right)+

\left( \begin{array}{c} G(t) \\ -m(t) \end{array}\right)</math>

Riga 141:

Calcolando gli autovalori e gli autovettori della matrice :

:<math>A:=\left( \begin{array}{cc} -s & -b \\ k & -\sigma \end{array}\right)</math>

e applicando la formula per il calcolo della soluzione dei sistemi dinamici lineari nel caso di autovalori reali e distinti si ha :

Riga 149:

Y_{*} \\ r_{*} \end{array}\right)+Pe^{\Lambda t}P^{-1}\left( \begin{array}{c}

Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+\int_{0}^{t}Pe^{\Lambda(t-\tau)}P^{-1}\left( \begin{array}{c}

G(\tau) \\ -m(\tau) \end{array}\right)\mathrm{d}\tau</math>

con <math>P</math> matrice 2x2<math>2\times 2</math> le cui colonne sono gli autovettori di A,<math>e^{\Lambda t}</math> matrice diagonale dove sulla diagonale principale vi sono gli esponenziali elevati a ciascun autovalore moltiplicato per <math>t</math>.

Applicando la formula per il calcolo della soluzione dei sistemi dinamici lineari nel caso di autovalori complessi coniugati si ha :

:<math>\left( \begin{array}{c}

Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}

Y_{*} \\ r_{*} \end{array}\right)+T^{-1}e^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \cos \omega t \end{array}\right)T\left( \begin{array}{c}

Riga 161:

Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)_{f}</math>

:con

:<math>T=\left(\begin{array}{cc}

Riga 167:

-\omega & \alpha \end{array}\right)</math>

:e

<math>\left(\begin{array}{c}Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)_{f}=\int_{0}^{t}T^{-1}e^{\alpha (t-\tau)}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega (t-\tau) & \sin \omega (t-\tau) \\ -\sin \omega (t-\tau) & \cos \omega (t-\tau) \end{array}\right)T\left( \begin{array}{c}

G(\tau) \\ -m(\tau) \end{array}\right)\mathrm{d}\tau</math>

con <math<\alpha</math> e <math\omega</math> rispettivamente parte reale e parte immaginaria degli autovalori complessi coniugati.

Si nota che essendo <math>s</math>, <math>b</math>, <math>k</math>, <math>\sigma</math> quantità positive gli autovalori della matrice <math>A</math> sono sia nel caso reale che nel caso complesso coniugato con parte reale negativa quindi calcolando il limite per <math>t</math> tendente a infinito dello stato del sistema (vettore 2x1<math>2\times 1</math> le cui componenti sono il PIL e il tasso di interesse) si nota che il PIL e il tasso di interesse convergono sempre verso lo stato stazionario, pertanto il modello IS LM è asintoticamente stabile. La convergenza verso lo stato stazionario può avvenire o crescendo o decrescendo oppure oscillando.

==Dinamica del Modello IS-LM nel dominio di s==