Integrale di linea: differenze tra le versioni
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La funzione da integrare può essere un [[campo scalare]] o un [[campo vettoriale]]. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la [[lunghezza di un arco]] o, nel campo vettoriale, il [[prodotto scalare]] del campo scalare con il vettore [[Differenziale_(matematica)|differenziale]] nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su [[intervallo (matematica)|intervalli]]. Molte relazioni in fisica sono formulate in termini di integrali di linea: ad esempio, il [[lavoro (fisica)|lavoro]] compiuto dalle forze del campo su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria.
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=== Integrale di prima specie ===
{{Vedi anche|Integrale di linea di prima specie}}
In termini qualitativi, un integrale di linea nel calcolo vettoriale può essere pensato come la misura di un effetto di un dato [[campo vettoriale]] lungo una certa curva.
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dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]. Se il dominio della funzione <math>f</math> è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo <math>[r(a),r(b)]</math> (o <math>[r(b),r(a)]</math>, qualora fosse <math>r(b)<r(a)</math>). Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli [[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della [[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]].
=== Integrale di seconda specie ===
{{Vedi anche|Integrale di linea di seconda specie}}
Similmente, per un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf{F} : \R^n \to \R^n</math>, l'integrale di linea lungo una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math> con <math>t \in [a, b]</math>, è definito da:<ref name=mathworld>{{Cita web
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