Modulo (algebra): differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Atarubot (discussione | contributi)
template citazione; fix parametro isbn
Riga 67:
 
== Decomponibilità ==
Un modulo che è privo di sottomoduli non banali (cioè <math>\{0\}</math> e il modulo stesso) è detto ''semplice'' mentre, nel caso in cui possa essere scritto come somma diretta di moduli semplici, è detto ''semisemplice''. Mentre tutti gli spazi vettoriali sono semisemplici (possono sempre essere scritti come somma diretta di sottospazi di dimensione 1), così come tutti i moduli liberi, in generale esistono moduli che posseggono sottomoduli non banali, ma non possono essere scritti come somma diretta di due suoi sottomoduli: essi sono detti ''indecomponibili''. Tutti i moduli semplici sono indecomponibili, ma non viceversa: ad esempio, se <math>p</math> è un [[numero primiprimo]], lo <math>\mathbb{Z}</math>-moduli <math>\mathbb{Z}_{/p^2}\Z</math> non è semplicisemplice, in quanto contiene il sottomodulo <math>p\mathbb{Z}_{/p^2}\Z=\{0,p,2p,\ldots,p(p-1)p\}</math>, che è il suo unico sottomodulo non banale; di conseguenza, <math>\mathbb{Z}_{/p^2}\Z</math> è indecomponibile ma non semplice.
 
Se tutti gli ''<math>A''</math>-moduli sono semisemplici, ''<math>A''</math> stesso è detto (anello) semisemplice; una condizione sufficiente perché questo avvenga è che ''<math>A''</math> sia semisemplice come ''<math>A''</math>-modulo. Un caso di grande importanza per la [[teoria delle rappresentazioni]] è il [[teorema di Maschke]]: se ''<math>G''</math> è un gruppo finito e ''<math>k''</math> è un [[campo (matematica)|campo]] [[chiusura algebrica|algebricamente chiuso]], allora l'[[algebra di gruppo]] <math>k[G]</math> è semisemplice se e solo se la [[caratteristicaCaratteristica (algebra)|caratteristica]] di ''<math>k''</math> non divide l'ordine di ''<math>G''</math>.
 
È possibile anche affrontare il problema di stabilire una decomposizione "canonica" dei moduli su un anello non semisemplice, anche se in tal caso non tutti gli addendi possono essere semplici; un caso generale è dato dalla decomposizione in sottomoduli indecomponibili, che è possibile se la [[lunghezza di un modulo|lunghezza]] del modulo è finita ([[teorema di Krull-Schmidt]]). Nel caso dei [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]] (PID), si ottiene per i moduli finitamente generati una classificazione analoga a quella dei gruppi abeliani finitamente generati: se ''<math>A''</math> è un PID e ''<math>M''</math> un ''<math>A''</math>-modulo finitamente generato, allora

:<math>M\simeq RA^k\oplus RA/(q_1)\oplus RA/(q_2)\oplus\cdots\oplus RA/(q_n),</math>,

dove i <math>q_i</math> sono potenze di [[elemento primo|elementi primi]] di <math>A</math>. Una conseguenza di questa classificazione è l'esistenza della [[forma canonica di Jordan]] per [[applicazione lineare|applicazioni lineari]] su uno spazio vettoriale su un campo algebricamente chiuso.
 
== Note ==