Processo stocastico: differenze tra le versioni

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== Descrizione ==

Da un punto di vista pratico, un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un [[segnale elettrico]] contenente [[informazione]] ovvero [[modulazione|modulato]], il numero di autovetture che transitano su un ponte, ecc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (o osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni ada un istante <math>t</math> otteniamosi ottiene una variabile aleatoria <math>X(t)</math> che comprende i diversi valori che il processo può assumere in quell'istante. Tali valori avranno un valore medio, che, nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore al centro della "campana" gaussiana all'istante <math>t</math>. Quindi per ciascun istante possiamosi può definire una variabile aleatoria, una gaussiana o altra, che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard.

=== Concetti e definizioni ===

Si definisce processo stocastico una famiglia di [[variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>\{X(t), t \in T \subseteq \R_+\}</math> dipendenti dal tempo, definite su uno [[spazio campionario|spazio campione]] <math>{\Omega}</math> e che assumono valori in un insieme definito ''spazio degli stati del processo''. Un processo stocastico è quindi un insieme di funzioni che evolvono nel tempo (le cosiddette ''funzioni campione'' o ''realizzazioni''), ognuna delle quali è associata ad un determinato elemento dello spazio campione, così che il risultato di un esperimento casuale corrisponde di fatto all'estrazione di una di queste funzioni.

Fissando un istante di tempo <math>\tilde{t}</math>, è possibile individuare valori generalmente differenti, ognuno relativo ada una determinata realizzazione e quindi ad un elemento dello spazio campione: <math>X(\tilde{t})</math> è allora una variabile aleatoria e rappresenta la "fotografia" del processo stocastico in un determinato istante; quindi, rispetto ada una semplice variabile aleatoria, esso fornisce anche un'informazione relativa all'evoluzione temporale.

Per descrivere un processo aleatorio è sufficiente utilizzare la [[funzione di densità di probabilità|funzione di densità di probabilità congiunta]], o, analogamente, la [[Variabile casuale#Distribuzione di probabilit.C3.A0|funzione di distribuzione di probabilità congiunta]], delle variabili aleatorie <math>\{X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n)\}</math>.

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=== Esempio introduttivo ===

SupponiamoSi supponga di voler definire matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una data legge probabilistica. PossiamoSi può definire un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali <math>\{S_t, t \in \R \}</math>, dove per ogni valore del tempo <math> t </math>, <math> S_t</math> è la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo <math> t</math>. Se definiamosi definisce <math>S_t</math> come la soluzione all'equazione differenziale stocastica

:<math>dS_t=- \mu S_t dt + \sigma dW_t,</math>