Insieme statistico: differenze tra le versioni

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Il concetto di insieme statistico è stato introdotto da [[Ludwig Boltzmann|L. Boltzmann]] (1884) e sviluppato da [[Willard Gibbs|J. W. Gibbs]] (1902).

In pratica, il concetto di insieme è una maniera di rappresentare la [[distribuzione di probabilità]] di un sistema meccanico nello spazio delle fasi. Indichiamo con <math>z = ((\vec{p}_1,\vec{r}_1),\ldots,(\vec{p}_N,\vec{r}_N))</math> il generico punto dello spazio delle fasi di un sistema di <math>N</math> particelle, dove <math>\vec{p}_i</math> e <math>\vec{r}_i</math> sono rispettivamente la quantità di moto e il vettore posizione della particella <math>i</math> per <math>i\in\{1,2,\ldots,N\}</math>. Allora il numero <math>d\mathcal{N}</math> di elementi dell'insieme che si trovano all'istante <math>t</math> in una regione di volume <math>dz</math> attorno al punto <math>z</math> è dato da <math>d\mathcal{N} \propto \rho(z,t)\,dz</math>, dove <math>\rho(z,t)</math> è la densità di probabilità all'istante <math>t</math> valutata in <math>z</math>. Per il [[Teorema di Liouville (meccanica hamiltoniana)|teorema di Liouville]], data una qualunque regione <math>\Omega_0</math> dello spazio delle fasi all'istante <math>t=t_0</math>, se denotiamo con <math>\Omega_t</math> la sua evoluta all'istante <math>t</math>, cioè la regione formata dalle immagini di tutti i punti di <math>\Omega_0</math> sotto l'evoluzione del sistema dal tempo <math>t_0</math> al tempo <math>t</math>, si ha che il volume di <math>\Omega_t</math> è pari al volume di <math>\Omega_0</math>. Questo implica che la dinamica propria del sistema fa sì che il "fluido" costituito dai punti rappresentativi dell'insieme sia incompressibile. La stessa conclusione viene espressa in termini della distribuzione di probabilità <math>\rho(z,t)</math> dall'equazione

Esempi tipici di insiemi statistici sono: l'[[insieme microcanonico]], l'[[insieme canonico]] e l'[[insieme gran canonico]].

<math>\frac{d\rho}{dt}=\sum_i\left[\frac{d\vec{p}_i}{dt}\cdot\frac{\partial\rho}{\partial \vec{p}_i}+\frac{d\vec{r}_i}{dt}\cdot\frac{\partial\rho}{\partial \vec{r}_i}\right]+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.</math>

Una conseguenza di questa equazione è che se <math>\rho(z)</math> dipende da <math>z</math> solo tramite delle [[Costante del moto|costanti del moto]] (come l'[[energia]]), essa rimane invariante per l'evoluzione del sistema.

Esempi tipici di insiemi statistici sono: l'[[insieme microcanonico]], l'[[insieme canonico]] e l'[[insieme gran canonico]], che rappresentano la distribuzione di un sistema meccanico all'[[equilibrio termodinamico]] sotto diverse condizioni, diverse dal punto di vista meccanico, ma indistinguibili termodinamicamente per sistemi abbastanza grandi.

== Bibliografia ==