Differenze divise: differenze tra le versioni

Versione delle 16:25, 15 mag 2022

Versione attuale delle 14:32, 17 mag 2022

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== Rapporto con le derivate di ''f''(''x'') ==

Quando due argomenti risultano coincidenti possiamo ugualmente dare un significato alla corrispondente differenza divisa di ordine <math>1</math>, purché <math>f'(x)</math> esista in quel punto<ref name=":0">{{Cita libro|cognome=Monegato, Giovanni.|titolo=Metodi e algoritmi per il calcolo numerico|url=https://www.worldcat.org/oclc/956017867|accesso=2019-04-29|data=[2008]|editore=Clut|OCLC=956017867|ISBN=9788879922654}}</ref>:

:<math>f[x_0,x_0] = \lim_{x\to x_0} f[x_0,x] = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0).</math>

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=== Rapporto incrementale ===

{{vedi anche|Rapporto incrementale}}

Data una funzione <math>f</math>, presi due punti <math>(x_0, f(x_0)),(x_1, f(x_1))</math>, la differenza divisa di ordine '''<math display="inline">1</math>''':

:<math>A_1 = f[x_0,x_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \frac{\Delta f}{\Delta x}</math>

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:<math>f[x_0,x_1,\dots, x_n] =\sum_{k=0}^n{\frac{f(x_k)}{\prod_{{j=0,\ j \neq k}}^n{(x_k-x_j)}}}.</math>

Questa espressione ci permette di affermare che <math display="inline">f[x_0,x_1,\dots, x_n]</math> è una funzione '''[[Funzione simmetrica|invariante a permutazione]]''' dei suoi argomenti, cioè

:<math>f[x_0,x_1,\dots, x_n] = f[x_{i_0},x_{i_1},\dots, x_{i_n}],</math>