Modello probit: differenze tra le versioni

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[[File:Logistic-sigmoid-vs-scaled-probit.svg|thumb|In rosso tratteggiato è rappresentato il modello probit.]]
In [[statistica]] e in [[econometria]], il '''modello probit''' è un modello di [[regressione nonlineare]] utilizzato quando la [[variabile dipendente]] è di tipo [[Variabile dicotomica|dicotomico]]. L'obiettivo del modello è di stabilire la probabilità con cui un'osservazione può generare uno o l'altro valore della variabile dipendente; può inoltre essere utilizzato per classificare le osservazioni, in base alla caratteristiche di queste, in due categorie.<ref name="Definizione">{{Cita libro|titolo=Introduction to Econometrics|url=https://archive.org/details/introductiontoec0000stoc_z0a9|autore1=James H. Stock|autore2=Mark W. Watson|editore=Pearson|anno=2015|edizione=3|lingua=inglese|ISBN=978-1-292-07131-2|capitolo=Regression with a Binary Dependent Variable|pp=[https://archive.org/details/introductiontoec0000stoc_z0a9/page/437 437]-439}}</ref><br />
Il modello è stato proposto per la prima volta da [[Chester Ittner Bliss]] nel [[1934]],<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=THE METHOD OF PROBITS|autore=Chester I. Bliss|wkautore=Chester Ittner Bliss|rivista=Science|data=12 gennaio 1934|volume=79|pp=38-39|doi=10.1126/science.79.2037.38|PMID=17813446|accesso=20 novembre 2018}}</ref> ampliato l'anno successivo da [[Ronald Fisher]] che introdusse un metodo iterativo per la stima dei parametri tramite il [[metodo della massima verosimiglianza]].
 
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== Stima dei parametri ==
Il vettore di parametri <math>\boldsymbol{\beta}</math> è di norma stimato con il [[metodo della massima verosimiglianza]], con il quale si ottengono stimatori [[Efficienza (statistica)|efficienti]], [[Consistenza (statistica)|consistenti]] e distribuiti normalmente nel caso in cui il [[campione statistico]] sia abbastanza grande.<ref name="Stimatori">{{Cita libro|titolo=Introduction to Econometrics|url=https://archive.org/details/introductiontoec0000stoc_z0a9|autore1=James H. Stock|autore2=Mark W. Watson|editore=Pearson|anno=2015|edizione=3|lingua=inglese|ISBN=978-1-292-07131-2|capitolo=Regression with a Binary Dependent Variable|pp=[https://archive.org/details/introductiontoec0000stoc_z0a9/page/441 441]-442}}</ref> Queste proprietà permettono di calcolare il [[test t]] su un parametro, il [[test F]] nel caso di restrizioni multiple e gli [[Intervallo di confidenza|intervalli di confidenza]].<ref name="Stimatori" />
 
=== Funzione di verosimiglianza ===
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::<math>= p_1^{y_1} \left ( 1-p_1 \right ) ^{1-y_1} \cdot \ldots \cdot p_n^{y_n} \left ( 1-p_n \right ) ^{1-y_n} = \prod_{i=1}^n p_i^{y_i} \left ( 1-p_i \right ) ^{1-y_i}</math>.
 
Si riprende ora la definizione del modello probit e la si sostituisce al posto di <math>p_i</math>, ottenendo quindi la [[funzione di verosimiglianza]]<ref>L'intera derivazione della funzione di verosimiglianza è consultabile alle pagine qui riportate. {{Cita libro|titolo=Introduction to Econometrics|url=https://archive.org/details/introductiontoec0000stoc_z0a9|autore1=James H. Stock|autore2=Mark W. Watson|editore=Pearson|anno=2015|edizione=3|lingua=inglese|ISBN=978-1-292-07131-2|capitolo=Regression with a Binary Dependent Variable|pp=[https://archive.org/details/introductiontoec0000stoc_z0a9/page/465 465]-466}}</ref>
::<math>\mathcal{L}_{probit} \left ( \beta_0, \ldots, \beta_k; Y_1, \ldots, Y_n \mid X_{1i}, \ldots, X_{ki} \right )=
\prod_{i=1}^n \left [\Phi\left(\beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \ldots + \beta_k X_{ki} \right) \right ]^{Y_i} \left [1 - \Phi\left(\beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \ldots + \beta_k X_{ki} \right) \right ]^{1-Y_i}</math>.
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== Bibliografia ==
* {{Cita libro|titolo=Econometric Analysis|autore=William H. Greene|editore=Prentice-Hall|annooriginale=1990|edizione=4|anno=1993|lingua=inglese|capitolo=Chapter 21|ISBN=0-13-013297-7}}
* {{Cita libro|titolo=Introduction to Econometrics|url=https://archive.org/details/introductiontoec0000stoc_z0a9|autore1=James H. Stock|autore2=Mark W. Watson|editore=Pearson|anno=2015|edizione=3|lingua=inglese|ISBN=978-1-292-07131-2|capitolo=Regression with a Binary Dependent Variable}}
 
==Voci correlate==