Gradiente: differenze tra le versioni

Versione delle 22:59, 3 dic 2024

Versione delle 13:09, 15 mar 2025

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===Coordinate curvilinee===

In [[coordinate curvilinee]] ortogonali, quando la metrica è data da <math>ds\mathrm{d}s^2 = g_j dx\mathrm{d}x^2_j</math>, il gradiente <math>\nabla f</math> di <math>f</math> in un punto è il vettore:

:<math>\nabla f = \frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial x_1} \mathbf{e}_1 + \frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial x_2} \mathbf{e}_2 + \frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial x_3} \mathbf{e}_3</math>

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dove <math>h_j = \sqrt {g_j^2}</math> e con <math>\mathbf{e}_i</math> si indica il [[versore]] della direzione <math>i</math>-esima (con tutti gli elementi nulli tranne l'<math>i</math>-esimo che vale 1).

Se il sistema è ''bidimensionale'' e le coordinate sono ''curvilinee qualunque'' <math>(u,v)</math>, il gradiente della funzione <math>f(u,v)</math> diventaassume la seguente forma:

:<math>\vec{\nabla} f=\frac{1}{EG-F^2}\left[\sqrt{E}\left(G\frac{\partial f}{\partial u}-F\frac{\partial f}{\partial v}\right)\hat{e}_u+\sqrt{G}\left(E\frac{\partial f}{\partial v}-F\frac{\partial f}{\partial u}\right)\hat{e}_v\right]</math>

dove <math>E</math>, <math>F</math> e <math>G</math> sono le entrate del [[tensore metrico]] metrico <math>(g_{ik})=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>. Infatti, siccome il gradiente può essere espresso come <math>\vec{\nabla}f=A\hat{e}_u+B\hat{e}_v</math> (con <math>A</math> e <math>B</math> da determinare), il differenziale della funzione in tale sistema diventa:

:<math>(g_{ik})=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{align}df&=\vec{\nabla} f\cdot d\vec{P}\\&=(A\hat{e}_u+B\hat{e}_v)\cdot(\sqrt{E}\,du\,\hat{e}_u+\sqrt{G}\,dv\,\hat{e}_v)\\&=(A+B\cos{\alpha})\sqrt{E}\,du+(B+A\cos{\alpha})\sqrt{G}\,dv\\&=\frac{\partial f}{\partial u}du+\frac{\partial f}{\partial v}dv\end{align}</math>.

Infatti, poiché il gradiente può essere generalmente scomposto sui versori di base come <math>\vec{\nabla}f=A\hat{e}_u+B\hat{e}_v</math> (con <math>A</math> e <math>B</math> quantità da determinare), il differenziale della funzione <math>f</math> in tale sistema di coordinate diventa

:<math>\begin{align}

\mathrm{d}f&=\vec{\nabla}f\cdot \mathrm{d}\vec{P}\\

&=(A\hat{e}_u+B\hat{e}_v)\cdot(\sqrt{E}\,\mathrm{d}u\,\hat{e}_u+\sqrt{G}\,\mathrm{d}v\,\hat{e}_v)\\

&=(A+B\cos{\alpha})\sqrt{E}\,\mathrm{d}u+(B+A\cos{\alpha})\sqrt{G}\,\mathrm{d}v\\

&=\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial f}{\partial v}\mathrm{d}v

\end{align}</math>.

Risolvendo quindi il sistema