Operatore differenziale: differenze tra le versioni

Versione delle 14:27, 1 dic 2007

Versione delle 09:31, 31 mag 2008

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:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

<!--==AdjointAggiunto ofdi anun operatoroperatore==

Dato un operatore lineare differenziale:

Given a linear differential operator

: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>

thel' '''adjointaggiunto''' ofdi thistale operatoroperatore isè defineddefinito ascome the operatorl'operatore <math>T^*</math> suchtale thatche

: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle</math>

wheredove thela notationnotazione <math>\langle,\rangle</math> isindica used for theil [[scalarprodotto productscalare]] oro [[innerprodotto productinterno]]. ThisLa definitiondefinizione di thereforeaggiunto dependsdipende onquindi thedalla definitiondefinizionne ofdi theprodotto scalar productscalare. In the functional space of [[square integrable]] functions, the scalar product is defined by

Nello spazio funzionale delle funzioni a [[quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx. </math>

Se a questo aggiungiamo la condizione che ''f'' e ''g'' tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

If one moreover adds the condition that ''f'' and ''g'' vanish for <math>x \to a</math> and <math>x \to b</math>, one can also define the adjoint of ''T'' by

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u]</math>.

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di '''operatore aggiunto formale'''.

Un operatore '''auto-aggiunto''' è un operatore che è aggiunto di se stesso.

This formula does not explicitly depend on the definition of the scalar product. It is therefore sometimes chosen as a definition of the adjoint operator. When <math>T^*</math> is defined according to this formula, it is called the '''formal adjoint''' of ''T''.

<!--

A '''self-adjoint''' operator is an operator adjoint of itself.

The [[Sturm-Liouville theory |Sturm-Liouville]] operator is a well-known example of formal self-adjoint operator. This second order linear differential operators ''L'' can be written in the form